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1、四川理工学院试卷（2006 至2007 学年第 一 学期） 系 专业 级 班 学号 姓名 密 封 线 密 封 线 内 不 要 答 题 课程名称：数学分析 参考答案命题教师： 李泽军适用班级： 2006级数学与应用数学1.2、信计1.2考试(考查) 考试 2006年 12 月 4 日 共 7 页题号一二三四五六七八总分评阅（统分）教师得分注意事项：1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请
2、将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。 试 题得分评阅教师一、填空题（每小题2分，共20分）1、函数可看成由 复合而成。2、若有分段函数，则x=0是函数的第 一 类间断点。3、曲线在点P（1，1）处的切线的斜率为 3 。4、数列极限= 0 。5、函数极限= 。6、函数的连续区间是 。7、当时，-1与是 低阶 无穷小量。第1页8、极限= 0 。9、设函数可导且，则dy= 。10、数列的敛散性是 收敛 。得分评阅教师二、判断题（每小题2分，共10分）1、若函数可微，其中u是中间变量，则 （）2、若函数在处左右连续，则在处连续。 （ ）3、若是的稳定点，则一定是的极值点。 （ ）4、若函数，则（0
3、）=5！ （ ）5、无穷大量一定是无界函数，无界函数却不一定是无穷大量。 （ ）得分评阅教师三、叙述定义或定理（每小题5分，共10分）1、 区间I上不一致收敛：解：若称函数 区间I上不一致收2、当时的归结原则：解：（1）；（2）；（3）单调递减的数列都有：得分评阅教师四、计算题（每小题5分，共25分）1、解：原式= = = =2、解：因为原式= = =13、若，求解：设 ，则 = =4、求极限解：当时，符合法则，则得：原式=5、求函数的带Peano余项的Maclaurin 展式解：设，由题有且： ， ， ， ，根据的Maclaurin 展式：，其中得：故的Maclaurin 展式为：五、证明题
4、（共25分）1、用定义证明： （ 5分）证明： ，要使又根据当很小时有不等式从而0,b0）有一个不超过a+b的正根。 （7分）证明：设 ， 显然在上连续，（1） 若=0，即，说明是方程根。（2） 若，则由于 由闭区间上连续函数的性质之根的存在性定理有： ，使得： 。综述（1）（2）有：方程 （a0,b0）有一个不超过a+b的正根 。3、 设函数f(x)在a,b上连续，在（a,b）内可导，试证明：存在使得： （6分）证明：设 ， ，显然满足：（1） 在a,b上连续；（2）在（a,b）内可导；（3）由ROLL中值定理得：使得： ，整理得：4、试证明：函数在(0,1)不一致连续，但对任意，在上一致连
5、续。 （7分）证明：（1）先证明函数在(0,1)不一致连续；，对（不妨设）， ， ，显然有：，尽管有： ，但 ，从而函数在(0,1)不一致连续；（2）再证明对任意，在上一致连续。对 ，要使得：只要取 即可。由于是0的定数，故只与有关。亦即：对，当时就有 。故在上一致连续。得分评阅教师六、试讨论函数的单调性、极值、凸性、最值和渐近线。（10分）解：（1）（因为的定义域为（）（2） 函数没有不可导的点且 ，令得驻点：（3） 令得（4） 求渐近线：显然函数没有垂直渐近线，斜渐近线的斜率为：=0 截距=0故，为水平渐近线。 （5）列表讨论单调性、极值、凸性、最值-1（-1，0）0（0，1）100000000000单调减上凸拐点单调减下凸极小值点单调增下凸拐点单调增上凸极大值点单调增上凸拐点单调减下凸在处函数取得极小值为，在处函数取得极大值为函数的最大值为，没有最小值。
