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1、专题05 导数压轴题的零点及恒成立、有解问题1（2018新课标全国文科）已知函数（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点【解析】（1）当a=3时，f（x）=，f （x）=令f （x）=0解得x=或x=当x（，）（，+）时，f （x）0；当x（，）时，f （x）0故f（x）在（，），（，+）单调递增，在（，）单调递减2（2017新课标全国文科）设函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围.【解析】（1）. 令得.当时，；当时，；当时，.所以在和单调递减，在单调递增.（2）.当a1时，设函数h(x)=（1x）ex，h(x)= xex0（x0），因此h(x)在0，+)单调递减，而h(
2、0)=1，故h(x)1，所以f(x)=（x+1）h(x)x+1ax+1.当0a1时，设函数g（x）=exx1，g（x）=ex10（x0），所以g（x）在0，+)单调递增，而g(0)=0，故exx+1.当0x1时，取，则.当时，取则. 综上，a的取值范围是1，+）. 【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.3（2016新课标全国文科）已知函数.（I）讨论的单调性；（）若有两个零点，求的取值范围.【解析】 ()(i)设，则当时，；当
3、时，.所以f（x）在单调递减，在单调递增.(ii)设，由得x=1或x=ln(-2a).若，则，所以在单调递增.若，则ln(-2a)1,故当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减.若，则，故当时，当时，所以在单调递增，在单调递减. (iii)设a0，若，则由(I)知，在单调递增.又当时，0，故不存在两个零点；若，则由()知，在单调递减，在单调递增.又当时0，故不存在两个零点.综上，a的取值范围为.【名师点睛】本题第()问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第()问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及导数、函数、
4、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.1利用导数研究函数的零点问题，一般出现在解答题的压轴题中，难度较大，这类零点一般都不能直接求出数值，而是利用数形结合、分类讨论、转化思想和分离变量等求零点的个数或根据零点的个数求参数的取值范围.2利用导数解决函数恒成立问题或有解问题是近年来高考的热点问题，这类问题往往融函数、导数、不等式等知识于一体，以函数知识为载体，利用导数为工具研究函数的性质，如单调性、极值、最值，综合性强，很好地考查了考生的分析问题和解决问题的能力，解决这类问题的关键是运用等价转化的数学思想及整体构造法和参数
5、分离法.指点1：利用导数研究函数的零点问题对于含参数的函数零点的个数问题，由函数有个零点方程有个实数根函数与轴有个交点可转化为方程解的个数问题，若能分离参数，可将参数分离出来，再作出函数的图象，根据函数的图象特征从而求出参数的取值范围.也可以根据函数的最值或极值的符号，即利用函数的性质去确定函数零点的个数，此方法主要是通过数形结合的方法确定存在零点的条件.【例1】设函数,其中为自然对数的底数（1）若,求的单调区间; （2）若,求证:无零点【解析】（1）若,则,令,则,当时,即单调递增,又,当时,单调递减,当时,单调递增的单调递减区间为,单调递增区间为（2）当时,，显然无零点当时,(i)当时,，
6、显然无零点(ii)当时，易证，,令，则，令，得，当时，；当时，故，从而，显然无零点.综上,无零点指点2：利用导数解决函数恒成立、有解问题利用导数研究恒成立问题、有解问题，通常采用分类讨论思想或分离参变量的方法，通过函数的单调性研究函数的最值，利用最值去研究恒成立问题、有解问题，此类问题最后都化归为与函数最值有关的问题. 一般地，若恒成立，只需即可；若恒成立，只需即可.若存在，使得成立，只需即可；若存在，使得成立，只需即可.【例2】已知函数，.（1）若曲线与曲线在它们的交点处的公共切线为，求，的值；（2）当时，若，求的取值范围.（2）由，得，即在上恒成立，令 ，则，其中在上恒成立，在上单调递增，
7、在上单调递减，则，.故的取值范围是.1设函数的单调递减区间是.（1）求的解析式；（2）若对任意的，关于的不等式在时有解，求实数的取值范围.【解析】（1）.的单调递减区间是(1,2)， 解得.（2）由（1）得，当时，0，在上单调递增，.要使关于的不等式在时有解，即，即对任意恒成立,只需在上恒成立. 设，则，当时，在上单调递减，在上单调递增，.要使在上恒成立，只需，则.故的取值范围是.2已知函数（1）证明：当时，；（2）当时，讨论关于x的方程的根的个数（2）当时，易得关于x的方程不成立； 当时，由可得，即，令，则问题可转化为讨论直线与函数的图象的交点个数. 由，可得，易知恒成立，所以当时，单调递减
8、；当时，单调递增， 又易知当时，恒成立，且， 所以当时，直线与函数的图象有且只有一个交点，即关于x的方程有且只有一个实数根. 3设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为，当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，函数在上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）若，且在区间上恒成立，等价于在区间上.由（1）中的讨论，知当时，函数在区间上单调递减，,即，从而得；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，即只需，即，由于，从而得.综上，的取值范围为.
