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1、如何提高学生的数学解题能力数学教学与研究 费传宝摘要: 解题是使学生牢固掌握数学基础知识和基本技能的重要手段,是培养能力、 发展智力的有效途径。本文对教师如何提高学生解数学题的能力进行了探讨。关键词: 数学课解题数学解题能力提高 美国著名数学教育家乔治波利亚(George Polya,1887-1985)指出:“解题是一种实践性的技能,就像游泳、 滑冰或弹钢琴一样,只能通过模仿与实践来学到它。 你想学会游泳,你就必须下水,你想成为解题能手,你就必须去解题。 ” 1随着数学教学改革的深入进行,不少与生产实践密切联系的创新数学题频繁出现,数学课的解题教学将愈来愈占有重要地位。 所以数学教师必须掌握
2、解题教学的科学方法,使学生逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力。在解题教学过程中,教师要对学生进行启发、诱导、点拨、解惑、辅导、示范、严格训练和耐心帮助,使学生善于运用科学方法,具有随机应变、 善于创新的解题方法,善于区分和积累有益的资料,善于对解题进行自我检查和讨论,善于对题目进行开拓、引伸、发散等,从而形成科学思维的习惯,发展创新精神,提高解决实际问题的能力。1.把握程序,有条不紊 1.1 认真审题,养成审题习惯。 审题是发现解法的前提,认真审题,可以为探索解法指明方向。题目是由条件和结论构成的,审题就是弄清题意,审清题目的已知事项和解题的目标,审清题目结构特征,从而判明题型,为
3、选择解法提供决策的依据。审题是解题的第一步,是正确解题的基础和前提,可以说“成在审题,败也在审题”,因此,审题要慢、要细心,而审题匆匆忙忙往往会导致解题失误和解题受阻而花费更多的时间。所以学生要咬文嚼字抓“题眼”,观察分析抓“特征”,深刻挖掘其隐含的内在联系,通过正确而广泛的联想,设计正确而简便的解题方案。 审题慢才能换来解题快,才能防止误入歧途的欲速而不达。1.2 学会探索,掌握思维方向。 审题之后,进入解题的酝酿阶段,探索解题途径,寻找解题方法,拟定解题计划。怎样展开解题思路?就思维形式而言,可以概括为“由因导果”和“执果溯因”的两种不同方向。1.2.1 由因导果。 “由因导果”是将“已知
4、”推演到“未知”的思维方法,称之为综合法。它是从问题的条件入手,一般说有三个思维层次:充分利用条件,善于转化条件,积极创设条件。 1.2.2 充分利用条件 在解题过程,只有所给的条件全部用上,才算是充分利用了条件。题目的条件有明有暗,明者就是在题目里明文给定的,暗者是隐含在图形或数式的性质之中。 学生只有把隐含的条件挖掘出来,并且用上,才能做到充分利用。 1.2.1.2 要善于转化条件 解题就是解决矛盾,就是使条件和结论逐渐靠近,以达到 “矛盾的统一” 。 转化条件对于 “矛盾的统一”能起促进的作用。所谓“转化”,就是掌握“矛盾的统一性” 。转化的具体方法有:等量转换(例如各种数式的恒等变形)
5、、 辅助转换(例如换元变换)、 等价转换(例如方程或不等式的同解变换)、 放缩转换(例如用放缩法解不等式,用相似变换解几何问题)、 数形转换(例如代数、三角、几何题型之间的转换)、近似转换(例如有限与无限之间的转换)等。 1.2.1.3 积极创设条件 积极创设与题目相容的条件,可以促使矛盾的转化。 众所周知,在论证几何题目时,引入适当的辅助线之后,往往能化难为易,这就是在解题中创造条件的一种表现。 在代数里,引入辅助方程、构造辅助函数,都是创设条件的方法。但是,条件不能凭空而创,思路必须有所启迪,从何启迪呢?凭何依据呢?从题目已给的条件或求解目标,联想与之有关的公式、定理或结论,获得启迪,寻找
6、依据,从而创设解题中所需要的条件。 例如:已知, , 是关于的 x 方程:x2+px+q=0 的两实根,求代数式 a3-b +c 的值。学生无法直接用韦达定理计算,仅凭题目所给的条件是不能解决问题的,必须创设条件,如设 A=a 3-b +c,B=a 3-b +c,便可用A+B 和 A-B,再用韦达定理,即可求出。 建构主义认为,学习是一种建构,或者说是重新构造的活动,所以数学的教学核心不是由教师向学生灌输或“贩卖”知识,而应该是学生的“再创造” 。2 1.2.2 执果溯因 “执果溯因”是将“未知”归结为“已知”的思维方法,称之为“分析法” 。它是从问题的结论入手的,也有三个思维层次:回想、联想
7、和猜想。 1.2.2.1 回想 回想是拉开解题思维的序幕。学生根据题目中涉及的主要概念,回想它的定义是怎样的;根据题目的条件、结论及其结构,回想与它们有关的公式、定理、法则是什么。回想往往是一种演绎推理,即由一般到特殊的推理,把一般的原理、法则、结论套在特殊的情况上。回想的结果,可能会出现直接套用现成的定义、公式、定理或法则来解题。 1.2.2.2 联想 联想是接通解题思路的桥梁。 当我们直接套用现成知识解决不了问题时,就必须进行联想,在回忆时可以由当前感知的事物回忆起有关的另一事物,或者由所想起的某一事物想起有关的其他事物,这就是联想。解题时的联想,就是要求在知识仓库里找出与题目很接近的或很
8、相似的原理、方法、结论或命题来,变通使用这些知识,看能否解决问题。数学里常用的联想有:接近联想、相似联想、对比联想、关系联想、定义联想、命题联想、方法联想、规律联想等。 1.2.2.3 猜想 猜想是点燃创造思维的火花。如果经过联想,仍然解决不了问题,不妨进行大胆猜想。如果对解决问题的途径、 原则和方法不能马上找到,可以去选择一些接近于解决问题的途径、 原则和方法,这就是提出猜想。然后设法论证这个猜想是否真实。 回想、联想、猜想是密切相关的,回想越充分,联想就越丰富,猜想也就越合理,解题的思路、 方法也就越明确,这需要熟练地掌握数学基础知识和基本数学方法。 如能经常对解题进行归纳总结,就可以为“
9、三想”的成功奠定基础。 2.开拓引伸,举一反三 解完题,再回味和引伸,对题目作开拓思考,引伸出新题和新解法,有利于培养发散思维,“数学是思维的体操”,数学思维是人脑和数学对象交互作用,并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动。3学生可以从如下几方面入手: 2.1 把题目条件开拓引伸。 题目的条件在题目中居于主导地位,题目的结论是由条件决定的,如果题目的条件 改变了,那么题目的结论可能随之变化。改变条件的方法有如下三种: 2.1.1 把特殊条件一般化 去掉题目条件的约束性,使特殊条件一般化,从而推得更为普遍性的结论,这叫做数学命题的推广。 2.1.2 把一般条件特殊化 把一般条件加以约束,使
10、它变为特殊条件,从而获得新的结论,这也是数学命题的推广。 一般条件加以约束之后,使条件强化,随之解题方法往往不能套用前者,而要另辟蹊径。 条件越约束,题目要求越高,解题难度也越大。 2.1.3 特殊条件与一般条件交替变化 题目的条件如果是特殊与一般交替变化,更是千姿百态。 2.2 把题目结论开拓引申。 有的题目,在条件不改变的情况下,可以把结论开拓引申,使题目深化。例如,把射影定理的结论加以开拓引申,就得到勾股定理。 3.重视概念,注意积累。 解题能力由多种因素组成,要提高解题能力,提高解题效率,学生必须做好以下几点。 3.1 加强解题的知识因素。 数学知识是解题的基础,学生要熟练掌握数学基础
11、知识的体系,深刻理解数学概念,准确掌握数学定理、公式、法则、熟悉基本的常用的逻辑推理方法和数学方法。有了充实、丰富的数学知识,才能为解题奠定坚实的基础,才有可能提高解题效率。 3.2 提高解题的能力因素。 解题能力表现为发现问题、分析问题与解决问题的各方面的本领。其核心是掌握正确的思维方法和正确的思维品质,掌握解题思路和各种解题的策略,因题制宜地选择对口的解题思路,使用有效的解题方法,调动巧妙的解题技巧,从而提高解题效率。 3.3 丰富解题的经验因素。实践出真知,理论总是从实践中提炼的。方法与技巧也是从经验中获得的。 “要想快速有效地学习任何东西,你必须看它、听它和感觉它” 。4俗话说:“熟能
12、生巧。 ”学生不断积累解题经验,探索解题规律,就可以提高解题能力。 不断总结,学生就会有所发现,有所创造,有所前进。 总之,学生要提高解数学题的能力,就要善于解题,不仅善于解一些标准的题,而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题。解题能力的提高,绝非一朝一夕所能形成,学生要持之以恒,坚持不懈,不受外界条件的干扰,培养解题技巧和科学思维方法。在解题中加深对概念的理解,在熟练基本概念的基础上做题,这样才能事半功倍,取得良好的效果。 参考文献:1赵小云.数学家的策略M.北京:中国少年儿童出版社,1997. 2徐厚生.数学实验教学的策略探讨J.镇江高专学报,2007,20,(2):108-109. 3张丽娟.注重数学思维训练培养良好的数学思维方式J.安徽电子信息职业技术学院学报,2008,7,(6):112-113.4美国珍妮特沃斯新西兰戈登德莱顿.学习的革命M.上海:上海三联书店,1998.
