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1、word抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号与其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数局部的难点,也是大学高等数学函数局部的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比拟困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以与函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义：对于定义域的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，如此称函数具有周期性，叫做的一个周期，如此也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。分段函数的周期：设是
2、周期函数，在任意一个周期的图像为C:。把个单位即按向量在其他周期的图像：。2、奇偶函数：设假如假如。分段函数的奇偶性3、函数的对称性：1中心对称即点对称：点2轴对称：对称轴方程为：。关于直线函数关于直线成轴对称。关于直线成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论一函数图象本身的对称性自身对称假如，如此具有周期性；假如，如此具有对称性：“同表示周期性，反表示对称性。1、图象关于直线对称推论1：的图象关于直线对称推论2、的图象关于直线对称推论3、的图象关于直线对称2、的图象关于点对称推论1、的图象关于点对称推论2、的图象关于点对称推论3、的图象关于点对称二两个函数的图象对称性相互对称利用解析几何中的对
3、称曲线轨迹方程理解1、偶函数与图象关于Y轴对称2、奇函数与图象关于原点对称函数3、函数与图象关于X轴对称4、互为反函数与函数图象关于直线对称与图象关于直线对称 推论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与图象关于直线对称推论3:函数与图象关于直线对称三抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1 假如函数yf(x)关于直线xa轴对称，如此以下三个式子成立且等价：1f(ax)f(ax) 2f(2ax)f(x) 3f(2ax)f(x)性质2 假如函数yf(x)关于点a，0中心对称，如此以下三个式子成立且等价：1f(ax)f(ax)2f(2ax)f(x)3f(2ax)f(x)易知，yf(x)为
4、偶或奇函数分别为性质1或2当a0时的特例。2、复合函数的奇偶性定义1、 假如对于定义域的任一变量x，均有fg(x)fg(x)，如此复数函数yfg(x)为偶函数。定义2、 假如对于定义域的任一变量x，均有fg(x)fg(x)，如此复合函数yfg(x)为奇函数。说明：1复数函数fg(x)为偶函数，如此fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x)，复合函数yfg(x)为奇函数，如此fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x)。2两个特例：yf(xa)为偶函数，如此f(xa)f(xa)；yf(xa)为奇函数，如此f(xa)f(ax)3yf(xa)为偶或奇函数，等价于单层函数yf(x)关于直线xa轴
5、对称或关于点a，0中心对称3、复合函数的对称性性质3复合函数yf(ax)与yf(bx)关于直线xba/2轴对称性质4、复合函数yf(ax)与yf(bx)关于点ba/2，0中心对称推论1、 复合函数yf(ax)与yf(ax)关于y轴轴对称推论2、 复合函数yf(ax)与yf(ax)关于原点中心对称4、函数的周期性假如a是非零常数，假如对于函数yf(x)定义域的任一变量x点有如下条件之一成立，如此函数yf(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x)f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质5假如函数yf(x)同时关于直线xa与
6、xb轴对称，如此函数f(x)必为周期函数，且T2|ab|性质6、假如函数yf(x)同时关于点a，0与点b，0中心对称，如此函数f(x)必为周期函数，且T2|ab|性质7、假如函数yf(x)既关于点a，0中心对称，又关于直线xb轴对称，如此函数f(x)必为周期函数，且T4|ab| 6、函数对称性的应用 1假如,即 2例题 1、; 2、奇函数的图像关于原点0，0对称：。 3、假如的图像关于直线对称。设.四常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、( ) 的周期为，()也是函数的周期2、的周期为3、的周期为4、的周期为5、的周期为6、的周期为7、的周期为8、的周期为9、的周期为10、假如11、
7、有两条对称轴和周期推论：偶函数满足周期12、有两个对称中心和周期推论：奇函数满足周期13、有一条对称轴和一个对称中心的四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。例1.1996年高考题设是上的奇函数，当时，如此等于-0.5A0.5;B-0.5; C1.5; D-1.5.例21989年市中学生数学竞赛题是定义在实数集上的函数，且，求的值.。2、比拟函数值大小例3.假如是以2为周期的偶函数，当时，试比拟、的大小.解：是以2为周期的偶函数，又在上是增函数，且，3
8、、求函数解析式例4.1989年高考题设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间当时，求在上的解析式.解：设时，有是以2 为周期的函数，.例5设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.解：当，即，又是以2为周期的周期函数，于是当，即时，4、判断函数奇偶性例6.的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.解：由的周期为4，得，由得，故为偶函数.5、确定函数图象与轴交点的个数例7.设函数对任意实数满足，判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.解：由题设知函数图象关于直线和对称，又由函数的性质得是以10为周期的函数.在一个周期区间上，故图象与轴至少有2个交
9、点.而区间有6个周期，故在闭区间上图象与轴至少有13个交点.6、在数列中的应用例8.在数列中，求数列的通项公式，并计算分析：此题的思路与例2思路类似.解：令如此不难用归纳法证明数列的通项为：，且以4为周期.于是有1，5，9 1997是以4为公差的等差数列，由得总项数为500项，7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第天是星期几？分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进展计算即可.解：因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1，即为余数，故天为星期四.8、复数中的应用例10.市1994年高考题设，如此满足等式且大于1的正整数中最小的是A 3 ； B4 ；
10、C6 ； D7.分析：运用方幂的周期性求值即可.解：，9、解“立几题例11.ABCD是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段。白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规如此：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线其中.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是A1； B；C ； D0.解：依条件列出白蚁的路线立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.1990=6，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在点，白蚁在
11、C点，故所求距离是例题与应用例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)= f(x+4) ，x0，2时f(x)=x，求f(2007) 的值 例2：f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 。故f(2009)= f(2518+1)=f(1)=2例3：f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=2x+1，如此当时求f(x)的解析式例4：f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.例5：f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-
12、x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，假如f(a) =-f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上单调.求a的值. 例7：f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4x)，f(7+x)= f(7x),f(0)=0，求在区间1000，1000上f(x)=0至少有几个根？ 解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题22可知f(x)的一个周期是10 故f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 即在区间(0，10上，方程f(x)=0至少两个根 又f(x)是周期为10
13、的函数，每个周期上至少有两个根， 因此方程f(x)=0在区间1000，1000上至少有1+=401个根.例1、 函数yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么yf(x4)与yf(6x)的图象之间D A关于直线x5对称 B关于直线x1对称C关于点5，0对称 D关于点1，0对称解：据复合函数的对称性知函数yf(x4)与yf(6x)之间关于点64/2，0即1，0中心对称，应当选D。原卷错选为C例2、 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x1对称，证明f(x)是周期函数。2001年理工类第22题例3、 设f(x)是，上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时f(x)x，如此f(7.5)等于1996年理工类第15题例4、 设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，如此f(x)是C A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数六、巩固练习1、函数yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么yf(x4)与yf(6x)的图象 。A关于直线x5对称 B关于直线x1对称C关于点5，0对称 D关于点1，0对称2、设f(x)是
