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1、高中数学1.2圆的进一步认识1.2.4圆内接四边形知识导航学案苏教版选修4-11.2.4 圆内接四边形自主整理1.圆内接四边形性质定理：圆内接四边形对角互补.2.圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆.3.若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆.特别的，对定线段张角为直角的点共圆.高手笔记1.圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理包括两个：定理1是圆的内接四边形对角互补；定理2是圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.这两个定理表述形式稍有差别，但反映的本质相同，都反映了圆内接四边形所具有的特征.利用这两个定理，可以借助圆变换角的位置，
2、得到角的相等关系或互补关系，再进行其他的计算或证明.利用这两个定理可以得出一些重要结论，如内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程.2.圆内接四边形的判定定理（1）定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆.（2）符号语言表述：在四边形ABCD中，如果B+D=180，那么四边形ABCD内接于圆.（3）证明思路：要证明四边形ABCD内接于圆，就是要证明A、B、C、D四点在同一个圆上.根据我们的经验，若能证明这四个点到一个定点距离相等即可.但是这个定点一时还找不出来.不过对于不在同一条直线上的三点
3、来说，总可以确定一个圆.因此我们可以先经过A、B、C、D中的任意三个点，譬如A、B、C三点作一个圆，再证明第四个点D也在这个圆上就可以了.但是直接证明点D在圆上很困难，所以我们采用反证法证明.也就是假设点D不在圆上，经过推理论证，得出错误的结论，这就说明点D不在圆上是错误的，因此点D只能在圆上.由于点D不在圆上时，可能出现点D在圆外和点D在圆内两种情况，所以应分别加以证明，下面先讨论点D在圆内的情况.假设点D在圆内，若作出对角线BD，设BD和圆交于D，连结AD、CD，则ABCD为圆内接四边形（如图1.2-103），则ABC+ADC=180.另一方面，因为ADB、BDC分别是ADD和CDD的外角
4、，所以有ADBADB,BDCBDC,于是有ADCADC.因为已知ABC+ADC=180,所以ABC+ADC180，这与圆内接四边形的性质定理矛盾.因此可证点D不能在圆内.用类似的方法也可以证明点D也不能在圆外.因此点D在圆上，即四边形ABCD内接于圆.3.判定四点共圆的方法（1）如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆.（2）如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.（3）如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.（4）如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆（因为四个顶点与斜边中点距离相等）.名师解惑圆内接四边形判定定理
5、的证明，推导出与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果，体现了反证法证明几何命题的基本思路.反证法是证明问题的有效方法，那么与正面证明相比较，反证法有什么特点？它证明问题的步骤怎样？它有什么优点？剖析:反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（
6、n-1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木，推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾，与已知的公理、定义、定理、公式矛盾，与反设矛盾，自相矛盾.反证法可以分为归谬反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不止一种），如在上述定理证明中，假设点D不在圆上，则有点D在圆外和点D在圆内两种情况，必须一一证出这两种情况都不成立后，才能肯定点D在圆上.用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论.对于一些从正面难以说明的问题，反证法往往有着
7、出奇制胜的作用.讲练互动【例1】如图1.2-104，已知ABCD为平行四边形，过点A和B的圆与AD、BC分别交于E、F.求证：C、D、E、F四点共圆.图1.2-104分析：连结EF.由B+AEF=180，B+C=180，可得AEF=C.证明：连结EF.ABCD为平行四边形，B+C=180.A、B、F、E内接于圆，B+AEF=180.AEF=C.C、D、E、F四点共圆.绿色通道 要证明四点共圆，首先要把这四个点连结组成四边形，然后说明其对角互补或外角等于它的内对角.变试训练1.圆内接四边形ABCD中，A、B、C的度数的比是327，求四边形各内角的度数.解:由于四边形ABCD是圆内接四边形，故A+
8、C=B+D=180.又A:B:C=3:2:7，A=180(3+7)3=54.C=180-54=126.于是B=54=36，D=180-36=144.【例2】如图1.2-105两圆相交于A、B，过A作两直线分别交两圆于C、D和E、F.若EAB=DAB.求证：CD=EF.图1.2-105分析：要证CD=EF，只需证明CBDEBF即可.从图1.2105可以看出，C=E，D=F，因此，尚需找一条对应边相等即可.比如，能否推出BC=BE呢？要证BC=BE，只需CEB=ECB，有无可能呢？可以发现，ECB=1，又已知1=2，所以，只需证2=CEB即可，这时我们发现，A、B、E、C是圆内接四边形，根据性质定
9、理，它的外角2与它的内对角CEB当然相等.至此，思路完全沟通.证明：四边形ABEC为圆内接四边形，2=CEB.又1=ECB,且1=2,CEB=ECB.BC=BE.在CBD与EBF中，C=E，D=F，BC=BE，CBDEBF.CD=EF.绿色通道 利用圆内接四边形性质，直接写出2=CEB，简化了通过弧与角的计算推证2=CEB的过程，正如运用算术乘法的九九表一样，可以大大简化思维的过程.变试训练2.如图1.2-106，O1与O2为两个等圆，M为O1O2中点，过M的直线分别交O1与O2于A、B、C、D.求证：AB=CD.图1.2-106证明:过O1作O1EAB，过O2作O2FCD.1=2,O1EM=
10、O2FM=90.又M为O1O2中点，O1M=O2M.O1EMO2FM,O1E=O2F.又O1与O2是等圆，AB=CD.【例3】如图1.2-107,O1和O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与O1交于点C，与O2交于点D.经过点B的直线EF与O1交于点E，与O2交于点F.求证：CEDF.图1.2-107分析：要证明CEDF.考虑证明同位角（或内错角）相等或同旁内角互补.由于CE、DF分别在两个圆中，不易找到角的关系，若连结AB，则可构成圆内接四边形，利用圆内接四边形的性质定理可沟通两圆中有关角的关系.证明：连结AB，则四边形ABFD和ABEC都是圆内接四边形.于是D+ABF=180C+ABE
11、=180又ABE+ABF=180+-得C+D=180CEDF.绿色通道 （1）本题也可以利用“同位角相等或内错角相等，两直线平行”来证明.如延长EF至G，因为DFG=BAD，而BAD=E，所以DFG=E.（2）本题的辅助线是为了构成圆内接四边形，以利用它的性质，导出角之间的关系.变试训练3.在锐角ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，DGCE于G，EFBD于F.求证：FGBC.分析:证FGBC，只需证DFG=DBC即可.我们设法由共斜边的两个直角三角形的四顶点共圆来分析角的关系，探求证明的思路.证明:如图，由于RtBCE与RtBCD共斜边BC，所以B、C、D、E四点共圆.由同弧上的圆
12、周角，有DBC=DEG.同理，RtEDF与RtDGE共斜边DE，所以D、E、F、G四点共圆.于是，DEG=DFG.因此，DBC=DFG.于是FGBC.【例4】如图1.2-108所示，在ABC中，AB=AC，延长CA到P，再延长AB到Q，使得AP=BQ.求证：ABC的外心O与A、P、Q四点共圆.图1.2-108分析：要证O、A、P、Q四点共圆，只需证CPO=AQO即可，为此，只要证CPOAQO即可.证明：连结OA、OC、OP、OQ.在OCP和OAQ中，OC=OA，由已知CA=AB，AP=BQ，CP=AQ.又O是ABC的外心，OCP=OAC.由于等腰三角形的外心在顶角平分线上，OAC=OAQ，从而
13、OCP=OAQ.OCPOAQ.CPO=AQO.O、A、P、Q四点共圆.绿色通道 本题也可证OAPOBQ得到角相等，进而说明四点共圆.你可以试着写出另一种证明.变试训练4.如图1.2-109,在ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线，ADB的平分线交AB于E，AED的外接圆交BD于N，求证：BN=2AE.图1.2-109证明:连结EN，DE平分ADB1=2=【例5】如图1.2-110所示.在半径为1的O中，引两条互相垂直的直径AE和BF，在上取点C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q.证明四边形APQB的面积是1.图1.2-110分析：由已知条件可以证明四边形ABEF是正方形，且边长为2，则
14、正方形面积为2.而ABD的面积为正方形面积的一半，所以，只需证明S四边形APQB=SABD，即证SBPD=SBPQ，即证DQPB.因为BPAE，所以，只需证DQAE.证明：AE、BF为互相垂直的两条直径，垂足O为圆心，AE、BF互相平分、垂直且相等，四边形ABEF是正方形.ACB=AEF=45，即DCQ=QED.D、Q、E、C四点共圆.连结CE、DQ，则DCE+DQE=180.AE为O的直径，DCE=90，DQE=90.FOE=90,进而DQBF，SBPQ=SBPD,SABP+SBPQ=SABP+SBPD,即S四边形ABQP=SABD.O的半径为1，正方形边长为.即AB=AF=.S四边形ABQP=SABD=ABAF=1.绿色通道 当题目的结论直接证明较繁或无法证明时，可根据条件先证明某四点共圆，再利用圆的性质可使问题得以解决，这种方法常称之为“作辅助圆”方法.变试训练5.如图1.2-111，O和O相交于A、B，过A引直线CD，EF分别交两圆于C、D、E、F，EC与DF的延长线相交于P.证明P+CBD=180.图1.2-111证明:连结AB，E与CB
