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1、Sketchpad 的图表功能在函数教学中的应用金勤瑞丽水学院数理学院数学062本指导老师 卢晓忠摘要： 本文主要讲述运用几何画板的图表功能对二次函数和三角函数图象变换的进行动态演示，从而展现几何画板辅助函数教学的特有优势，深入理解“数学的实质内涵，充分表达“数形结合这一重要的数学观点。 关键词：几何画板 二次函数 三角函数 图象变换The application of sketchpads chart features In the teaching of functionJin Qin RuiCollege of Mathematics and Physics of LiShui Univ
2、ersity,Undergraduate classes in mathematics 062Instructor: Lu Xiao ZhongAbstract: This paper mainly describes the dynamic presentations of Geometers Sketchpad chart features for the image transformation of the quadratic function and the trigonometric transformation to show the unique advantages of G
3、eometric Sketchpad auxiliary function teaching, in-depth understanding of the substantive connotation of Mathematics, the spirit of few combining form of this important mathematical ideas, Fully embodies The few forms combine this important mathematical viewpoints.Key words: Geometers Sketchpad Quad
4、ratic function Trigonometric function image Transformation一、引言 函数教学是中学数学教学的重难点，函数以其抽象、复杂多变的特点让学生难以理解掌握，而“数形结合是解决函数教学困难的有效方法，它能形象直观地展现函数的概念和性质，便于学生接纳理解，但是，传统的教学模式缺乏相应的教学条件，使“数形结合变得单调、枯燥，不具吸引力，那么，怎样才能提起学生的兴趣去学习函数，到达更好的教学效果呢？下面将运用一款名为?几何画板?的软件，以其动态演示功能，展示“数形结合的优势，改变函数教学困难的局面。二、函数图象的变换1、二次函数图象的平移函数是数学教学
5、中最根本、最重要的概念，它贯穿于整个中学数学教学的始终，它的重要性不言而喻。函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使集合A中的任意一个数，在集合B中都有对于唯一确定的数和它对应，那么就称：AB为集合A到集合B的一个函数，记作。但是，这一概念已经被大局部人所遗忘，判别一个函数只是知其然而不知其所以然，虽然这个概念在解题考试中根本没用，但它却是探究函数的前提。在函数教学中，老师常常提及数形结合的方法，这种方法能让学生更好的理解、掌握函数的性质，但在传统的数学教学中，由于时间、技术等条件的限制，课堂上只有老师画的那么几幅草图，而且不精确美观，难以表达数形结合的魅力。但随着多媒
6、体教学的普及，数学教学也变得丰富多彩，不在像以往那么死板。由国外引进的?几何画板?这一软件，以其学习容易、操作简单、功能强大，得到广泛应用。它在数学函数教学中起着强大的辅助作用，使函数教学由抽象到形象、由静态到动态的转化，调动学生学习数学的积极性，强化学生的抽象概括能力，便于学生自己去探索发现。在函数学习中，函数的平移变换常常让人容易产生混淆，解错题目，只能死记硬背平移的规律，生搬硬套的代入解题，这样容易出现偏差导致算错题。老师在教授函数平移的过程中，只能画出函数图象的始终，而不能表现出平移变换的这个动态过程，使得学生只能靠自己的理解想象来加以分析判断，消化吸收知识，而这恰恰卡住了一些同学的思
7、维，使得他们的进度跟不上老师的教程。但是通过几何画板能产生很好的动态教学效果，优化课堂效率，下面利用几何画板中的“图表功能对二次函数和三角函数图象的变换进行动态演示和讨论：1.1 函数的变换二次函数中，大家最熟悉、最简单的函数解析式莫过于，只要点击“图表中的“绘制新函数，输入“，就能得到函数，并绘制出此函数的图像，即图1-1。而的进一步扩展就是二次函数的一般表达式：，传统的教学中，老师只能画出个别图形来代替函数的图象，不够全面，容易使学生产生理解偏差，而且不能反映整个二次函数系的状况，使用几何画板建立、三个参数，输入“得到解析式，并出现它的图象，即图1-2。点击、的加、减按钮，改变他们的数值，
8、就能观看到二次函数变化的趋势，形象而又直观，使学生容易理解、记忆。 图1-1 图1-2 通过几何画板精确而又便捷的画出图形，美观而简洁，节省不必要的浪费，把更多时间留给学生去思考、理解、探究。对于图1-1，相信大家都能手动画出，它简单的让大家觉得没有挑战性，但它却是学习二次函数的根底，了解并掌握它的性质才能更好的学习二次函数。由于平移时，图象上的各点都向相同的方向移动同样的距离，所以二次函数的平移可以考虑特殊点特别是顶点的平移变化。通过顶点的变化具体看顶点横、纵坐标的变化来判断一个函数的变化，而顶点关乎于二次函数的对称轴、最值问题、区间等一系列问题，因此，针对二次函数的一般式要先转化为二次函数
9、的顶点式再考虑平移。这样处理，表达了化归思想，即一般化特殊，特殊化思想方法的一般模式是：在许多数学问题中，由于抽象、概括程度较高，直接发现或改正这些性质往往感到困难，这时可以先试探它的特殊、局部情况的特性，从中发现规律和解答的方法。所以，在使用几何画板设计图形平移时，二次函数的解析式采用顶点式，便于大家更好的观察、探索。1.2 函数的变换 通过图1-3,就能实现函数的动态平移效果，先拖动点A，改变值的大小，观察图象的变化，得到图象开口向上下张开或聚拢，顶点和对称轴位置都不改变，所以函数的平移与系数无关，不要因a值 图1-3 增减、改变正负号而影响判别。拖动点B使图象在轴上左右平移，观察值的变化
10、：当图象向左平移时，增大；当图象向右平移时，减小，在轴负半轴上平移时，为正；在正半轴上平移时，为负，得出结论：“左加右减。例：二次函数向左平移2个单位，再向右平移5个单位，求平移后的函数解析式。分析：函数平移的计算常常通过顶点的平移实现，因此，通常要把函数的解析式化为的形式，即，由上述结论，向左平移2个单位，即+2，再向右平移5个单位，即-5，所以平移后函数解析式为。如图1-4 图1-4 拖动点C，使图象在轴上上下平移，观察值的变化：当图象向上平移时，增大；当图象向下平移时，减小，在轴正半轴上平移时，为正；在负半轴上平移时，为负，得出结论：“上加下减。例：二次函数向上平移3个单位，再向下平移2
11、个单位，求平移后的函数解析式。分析：由上述结论，向上平移3个单位，即+3，再向下平移2个单位，即-2，所以平移后函数解析式为。如图1-5 综合上述两点，如果图象既有水平3方向又有竖直方向的平移时，两者之间存在什么变化关系，又如何进行平移变换？下面针对例1进行分析和讨论。 图1-51.3 二次函数变换的应用例1. 将抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是 A BC D分析：通过图象的平移变化，我们可知左右和上下平移互不相关，向左和向下两个平移独立进行，顺序不分先后，可按大家习惯进行排序。向左平移2个单位为+2，向下平移3个单位为-3, 所以答案为B。如图1-6 图1
12、-6 以上讲的是根据平移路径去求解析式，那么当换成平移后的解析式，去探索二次函数的平移路径时，我们又该如何转换思路去思考，下面针对例2进行讨论。例2. 问二次函数如何平移得到函数.分析：此题两个函数的解析式，求平移路径，先把原函数的解析式转化为顶点式得到：，要想平移得到，只需把演算过程的思维和计算结果的思维转变过来去分析题意，通过的变化，那么变形为，根据平移的规律：即向左平移2个单位，再向上平移5个单位。用几何画板画出图形，即图1-7，通过图形能够准确地判断如何平移，并检验结果，图象法是解决函数平移的有效手段，兼解题与检验于一身，它不需要你有很强的逻辑思维能力，只要你会画图就行，通过画图，你就
13、能清楚地认识到函数平移的内涵，而不是那一堆堆令你感到头痛的字符变化，函数解析式只是数学变换的表现形式，是为了方便计算与表达。 图1-71.4 题型的转变 以上的平移变换及解题大家也许会觉得很简单，翻来覆去也就是那么几种变化，只要记住“左加右减，上加下减口诀去解题，根本上没什么问题，但数学不是机械的数学，它是灵动的、多变的，充满着想象和，神奇，它的魅力也在于此。单纯生硬地记住函数的平移口诀，确实可以缩短大家的思考路线，防止了走许多的弯路，但是同时也抹杀了许多探索的过程，连自己的思考空间也给挤掉了，无视了可能渗透于其中的重要的数学思想方法，依赖口诀只会使自己越学越呆板，思维也变得机械了。只有大家一
14、起去思考、研究，弄懂函数平移的实质，才能锻炼自己的思维，学到有价值的东西。单纯的记忆难以应对复杂多变的数学题目，万变不离其中，只有自己探索了，研究了，掌握了平移的本质，看题也不会觉得迷雾重重了。比方例3这种题型，转变了变换的方式，对于只记口诀的人，思维可能就转不过来了，而对于能从图象理解考虑平移实质原理的人，平移问题就做得得心应手了。接下来结合几何画板画图分析例题： 例3. 的图象是抛物线，假设抛物线不动，把轴，轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 分析：此题平移的是坐标轴，而不是原来的函数图象了，通过演示几何画板观察图像位置，点击“坐标轴移动，轴，轴分别向上、向右平移2个单位，可以看到图像的顶点坐标为平移后坐标系中的点，用反向思维思考，即图象下平移2个单位，向左平移2个单位，经过作图，画出变化的结果，可以很快得出答案。如图1-8 图1-8二次函数的平移经过几何画板的动态演示，看起来也并不怎么复杂，难以理解，无论函数怎样变化，题型怎样改变，其本质无非是函数图象在坐标系中上下左右的平移，只要你理清题意，画出图形，懂得从图形去分析，平移变换就显得不那么复杂难懂了。借助于几何画板的动态演示功能，大家对二次函数的平移应该有了更加深刻的认识
