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1、回答思考题 由前面的讨论知道，从导数与积分的角度研究解析函数均获得成功于是，我们自然会想从数学分析中选取别的研究角度如幂级数来讨论解析函数实践证明，这种选择是成功的复级数的基本概念为便于讨论幂级数，本节在复数项级数与复变函数项级数两方面作了准备工作由于这两类级数的有关定义、性质与判别法与数学分析的相应部分极为相似，所以，我们不再赘述本讲只介绍一个“内闭一致收敛”概念及讨论和函数的一个性质定义5.6 设函数 定义在区域 内，若级数 在 内任意一个有界闭集上均一致收敛，则称该级数在区域 内内闭一致收敛例5.3 试证级数 在单位圆内内闭一致收敛证 设 为单位圆内的任一闭集显然， 是有界的对于 ，定可
2、在单位圆内找到某个闭圆： ，使 含于该闭圆中由例5.1（级数 在 时收敛，在 上一致收敛，其和为 ）得知，级数 在该闭圆上是一致收敛的由 在单位圆内的任意性，证得级数 在单位圆内内闭一致收敛定理5.5 设 为区域，若级数 的各项在 内解析，级数 在 内内闭一致收敛于 ，则 在 内解析 （5.4）证 由定理5.3（设函数 在集 上连续，若级数 在 上一致收敛，则其和函数 在 上连续）知 在 内连续（为什么？），又对 内任一围线 （ 及其内部均在 内）有 由莫端拉定理（定理4.15）知函数 在区域 内解析 对 内任意一点 ，作围线 ，使 及其内部均含于 于是，由定理4.6有 由于级数 在 上一致收敛，所以，由定理5.4有 由 在 内的任意性证得综上所述，定理得证
