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1、2.2 离散型随机变量一、离散型随机变量及其分布律定义 2.3 如果随机变量 X 只取有限个值， x ,x , x , x ，或可列无穷多个值1 2 3, nx ,x ,x , x 则称X为离散型随机变量。(有限个或有规律)1 2 3, n对X的任意取值x.，若有PX二x 二p ,i二1,2,且满足下列两个条件：iii(1)P 0,i =1,2，,;(2)兗p =1，则称(2.3)式为X的概率分布或分布律(分iii=1布列)。二、常用的离散型分布1. 0-1分布(两点分布)若随机变量X只可能取0和1两个值，其分布律为P X = k = pk (1- p )1-k, k = 0,1,则 称 X
2、服从 0-1 分布，也称为两点分布。2. 二项分布若随机变量 X 的取值为 0,1,2,，并且 P X = k = Ck pk (1-p) n -k, k = 0,1,2., n, n则称X服从参数为n，p的二项分布，记为X B(n, p)。显然，在伯努利概型中，令X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数(往往把A发生看作成功)，事件A在每次试验中发生的概率为p, 0vpv1,则X服从的分布为B(n, p)。特别地，当n=1时，X B(n,p)，即为0-1分布。二项分布的分布函数为F(x) = PX x=工Ckpk (1- p)n-k。n0kx定理2.2如果随机变量X B(n, p)，且Y =
3、n 一 X，则Y = B(n,1 - p)。3. 泊松分布九k设随机变量X的分布律为PX = k = ke4 k = 0,1,2,.,九0,贝y称X服从参数为 k!九的泊松分布，记为X p(九)。2.3 连续型随机变量一、概率密度函数定义2.4设F(x)是随机变量X的分布函数，如果存在非负可积函数f (x)，使得对于任意实数X,均有F(x) = PX 0性质 2I+g f (x)dx 二 1g凡是满足上述两条性质的函数f (x) 一定是某个连续型随机变量的概率密度。性质 3 Px X x = F(x ) F(x ) = I x2 f (x)dx。1 2 2 1x1性质4 对连续型随机变量，F(
4、x)是连续函数；且在f(x)的连续点处，有F(x) = f (x)。性质5 设X为连续型随机变量，则对任意实数x,有PX = x = 0。二、常用的连续型分布1. 均匀分布若随机变量X具有概率密度f (x) = ba axb ，贝I称X服从区间a,b上的均匀分 0，其他布，记为 X U a, b。若随机变量X Ua,b，则对任意长度为l的子区间(C,c + /) ua,b，有Pc X c + l = IC+lf (x)dx = JC+ldx ，即 X 落在a,b的任一子区间内的cc b ab a概率只依赖于该子区间的长度，而与子区间的位置无关。2. 指数分布x0若随机变量X具有概率密度f (x
5、)x0，其中九0味常数，则称X服从参数为九Ae-人,的指数分布，记为X E()。不难求的其分布函数为F 0, A x03.正态分布（x卩）21 、,，若随机变量x具有概率分布f (x) 2= e 252 ,x g R，其中卩,都是常数,5 0，则称X服从参数为卩,5 2的正态分布，记为X N(卩,2)，相应地，称X为正态 变量。从图形可以看出：(1) f (x)的图形呈钟形曲线，关于x-卩对称；f (x)在x卩处取得最大值命，在(-g,卩)内单调增加，在(卩,+g)内单调减少，以 x 轴为渐近线；(3)参数卩决定曲线的位置，参数2决定曲线的形状，当52较大时，曲线较平坦, 当5 2较小时，曲线较陡峭，即参数5 2反映了随机变量取值的分散程度。显然，X的分布函数为F(x)二- d )2e 25 2特别地，当卩=0,5 = 1时，即X N(0,1)，称X服从标准正态分布，其概率密度为1 x21甲(x) e 2 , x g R。分布函数为 0 (x)f 兀 e 2 , x g R2兀52兀7定理 2.30 (-x) = 1 -0 (x)
