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1、21.设A，B都是上三角实对称矩阵，证明；存在正交矩阵T使的充分必要条件是A，B的特征多项式的根全部相同。 证明 必要性是显然的，因为相似矩阵有相同的特征值。 现证充分性，设是A的特征根，则它们也是B的特征根。于是存在正交矩阵X和Y，使 ，所以 YXAXY=B。令T=XY则T也是正交矩阵，从而TAT=B,，即 证。22.设A是n级实对称矩阵，且A=A，证明：存在正交矩阵T使得TAT=。证 设是A的任一特征值，是属于的特征向A=, A=A()=A=，由于A=A=(-)=0，又因为，所以-=0，即得=0,=1。换句话说，A的特征值不是1就是0。故存在正交矩阵T，使TAT=。上式中，对角线元素中1的
2、个数为A的特征值1的个数，0的个数是A的特征值0的个数.。23.证明：如果是n维欧氏空间的一个正交变换，那么的不变子空间的正交补也是的不变子空间。证 设W是的任意一个不变子空间，现证W也是的不变子空间。任取W , 下证W。取，是W的一组标准正交基，再扩充成V的一组标准正交基为，则W=L (，), W=L (，)。因为是正交变换，所以，也是一组标准正交基，由于W是子空间，W ，且为的一组标准正交基，于是，W，=k+kW。16.证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数。证:设是属于特征值的特征向量，即，于是 ，令，可得，即证。12设是n维欧氏空间V中的一组向量，而证明：当且仅当时线性无关。证 设有
3、线性关系 ，将其分别与取内积，可得方程组，由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0，即证。10.设V是一n维欧氏空间,是V中一固定向量,1)证明:V是V的一个子空间；2)证明:V的维数等于n-1。证 1)由于0因而V非空.下面证明V对两种运算封闭.事实上,任取则有 (，于是又有(， 所以。另一方面，也有 (， 即。故V是V的一个子空间。2)因为是线性无关的，可将其扩充为V的一组正交基，且( (，。下面只要证明:对任意的可以由线性表出，则的维数就是。 事实上，对任意的，都有，于是有线性关系，且 ，但有假设知 ，所以，又因为，故，从而有，再由的任意性，即证。5设是欧氏空间V的一组基，证
4、明：1） 如果使，那么。2） 如果使对任一有，那么。证 1)因为为欧氏空间V的一组基，且对，有 ，所以可设，且有即证。2)由题设，对任一总有，特别对基也有，或者，再由1)可得，即证。25.设V是复数域上的n维线性空间，A，B是V上的线性变换，且AB=BA.，证明：1) 如过是A的一个特征值，那么是B的不变子空间；2) A，B至少有一个公共的特征向量。证 1)设，则A，于是由题设知 A(B)=B(A)=B(B)，故B，即证是B的不变子空间。3) 由1)知是B的不变子空间，若记B|=B，则B也是复数域上线性空间的一个线性变换，它必有特征值使BB=B (B,且B)，显然也有A(B)= B，故B即为A
5、与B的公共特征向量。24.1)设是线性变换A的两个不同特征值，是分别属于的特征向量，证明：不是A的特征向量；2)证明:如果线性空间V的线性变换A以V中每个非零向量作为它的特征向量，那么A是数乘变换。证 1)由题设知A, A, 且，若是A的特征向量，则存在使A（）=，A（）=，即 。再由的线性无关性，知，即，这是不可能的。故不是A的特征向量。2）设V的一组基为，则它也是A的n个线性无关的特征向量，故存在特征值 使 A 。由1）即知。由已知，又有A ，即证A是数乘变换。16.证明与相似，其中()是1,2,的一个排列。证 设有线性变换A，使 A=D，则A(,)=(,)=(,)D，于是D与D为同一线性
6、变换A在两组不同基下的矩阵,故与相似。6.设,是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A,A,A线性无关。证 因A(,)=(A,A,A)=(,)A，故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A,A,A线性无关，故A可逆的充要条件是A,A,A线性无关.。22证明：和是直和的充分必要条件是。 证 必要性是显然的。这是因为，所以 。 充分性 设不是直和，那么0向量还有一个分解， 其中。在零分解式中，设最后一个不为0的向量是 则 ，即 ，因此，这与矛盾，充分性得证。20 证明：如果那么 。证 由题设知 因为 所以 ， 又因为 所以 故， 即证。 19 设与分别
7、是齐次方程组的解空间，证明：证 由于的解空间是你n1维的，其基为而由 知其解空间是1维的，令则其基为且即为的一组基，从而又，故 。 16设是一实二次型，若有实维向量使 ， 。证明：必存在实维向量使。 设的秩为，作非退化线性替换将原二次型化为标准型 ，其中为1或-1。由已知，必存在两个向量使 和 ，故标准型中的系数不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有个1，个-1，且，即 ，这时与存在三种可能： ， ， 下面仅讨论的情形，其他类似可证。 令， ， ，则由可求得非零向量使 ，即证。 14证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。 证 必要性。采用反证法。若正惯性指数秩，则。即
8、， 若令 ，则可得非零解使。这与所给条件矛盾，故。充分性。由，知 ，故有，即证二次型半正定。12设为一个级实对称矩阵，且，证明：必存在实维向量，使。证 因为，于是，所以，且不是正定矩阵。故必存在非退化线性替换使 ，且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在中，令则可得一线性方程组 ，由于，故可得唯一组非零解使 ，即证存在，使。 11证明：如果是正定矩阵，那么也是正定矩阵。证 因是正定矩阵，故为正定二次型，作非退化线性替换，又也是对称矩阵，故 ，从而为正定二次型，即证为正定矩阵。6证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是：它的秩等于2且符号差等于0，或者秩等于
9、1。证 必要性。设 ，其中均为实数。1） 若上式右边的两个一次式系数成比例，即 不失一般性，可设，则可作非退化线性替换 使二次型化为 ，故二次型的秩为1。2） 若两个一次式系数不成比例，不妨设，则可作非退化线性替换 ，使 。再令 ，则二次型可化为 ，故二次型的秩为2，且符号差为0。充分性。1）若的秩为1，则可经非退化线性替换使二次型化为 ，其中为的一次齐次式，即 ，且 。2）若的秩为2，且符号差为0，则可经非退化线性替换使二次型化为 ，故可表成两个一次齐次式的乘积。 4设是一个阶矩阵，证明： 1）是反对称矩阵当且仅当对任一个维向量，有。 2）如果是对称矩阵，且对任一个维向量有，那么。 证 1）必要性。因为，即，所以 由于，故 。 充分性。因为，有，即 ，这说明原式是一个多元零多项式，故有 ，即。 2）由于是对称的，且，即 ，这说明为一个多元零多项式，故有 ， ，即。
