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1、辏力场中运动的玻耳兹曼我们的问题是研究一个体系的运动和它的量子化，这个体系包含一个质量为而电荷为的核和一个质量为且受有静电引力的电子。电子的势能是，其中是这两个粒子间的距离，是电子电荷的大小。首先，将指出如何能把这个二体问题化为单体问题；然后再求解这个单体问题。我们将采用拉格朗日和哈密顿方法作为基础来进行讨论，第一步要写出动能和哈密顿函数。设电子的坐标是， ；核的坐标是，于是，动能 （A1-1）式中，代表的时间变化率，其余类推，然后更换函数，引入这两个粒子的质量中心的坐标：以及电子相对于核的坐标：；新旧变数之间的关系如下： （A1-2）对于坐标和坐标也有相似的关系式 。由这些关系式解出，等等；
2、因而求出 （A1-3）对于和也有相似的方程。利用这些方程和它们的时间导数把动能表达式转换新坐标，我们就得到 （A1-4）上面引入的物理量就是折合质量；由于核的质量比电子的质量大的很多， 所以折合质量与电子质量相差非常之少。哈密顿函数是,这里的由式（A1-4）决定，则是势能，等于，而且 （A1-5）这样哈密顿函数就是 （A1-6）式中的是动量，由于并不与相关，因而由哈密顿方程立即导致这样的结论：都是常数，也就是说质量中心的速度是常数。我们用不着来更多地考虑质量中心的这种匀速运动。就相对坐标来看，我们有 （A1-7）对于和也有相似的方程。换而言之，电子的相对坐标的运动好像是一个质量等于折合适量的粒
3、子在势位作用下的运动。这意味着在1-6的处理中，我们实应使用折合质量而不是经用电子质量，这样就使得该节中的那些公式要发生相应的改变。特别是对于氢问题中的能量公式和轨道半径公式，我们一定要使用来代替其中的，这些公式只有当核的质量为无限大时才正确，这是有；但是这意味着对氢的相应里德伯等于对无限质量核的里德伯以；而对氢的值则等于对无限质量核的值乘以。在精确的数值计算中一定要加上这些校正。下面来研究氢原子的轨道问题。我们从式（A1-7）看到，氢原子的轨道是由质量为的粒子在势场中的运动所引起的。为了研究轨道的大小和形状，我们可以在轨道平面内使用极坐标。于是运动方程将所表示的那样，其中仅为的函数。从这些运
4、动方程看出角动量等于常数。索末菲的量子条件是： ，这里的是一个常数，由于已是函数，这一量子条件乃导致 （A1-8）式中，。这个量子数被称为角量子数，已于1-7中说明。现在结合哈密顿函数等于能量这一事实来使用式，因而得到 （A1-9） 现在，而，.现在，对于变数，索末菲量子条件是，积分是沿着整个一周来取的，也是一个量子数，称为径量子数。 （A1-10）现在可以计算索末菲积分。根据常用的积分表，我们可以得到 （A1-11） 这里已经针对我们所考虑的情况正确地选用了该积分的形式；这一积分还有另外一些用对数函数或反双曲函数表示的形式。我们就它们来取反正弦的那两个分数在积分的上下限都要分别等于，因此，在
5、上下限的反正弦之差是，同时在上下线都要等于零。这样就有 （A1-12）从上列方程解出能量，即得 （A1-13） 现在来证明开普勒第一定律：在平方反比定律的条件下运动着的粒子，其轨道在圆锥割线；在特殊的情况下，如果它带着负能量而运动，则其轨道是椭圆。 （A1-14） （A1-15 ） （A1-16） 我们打算导出轨道方程（即与之间的关系式），由上式消去时间，可表明它将取式（A1-15）那样的形式；只要使用这样的替换，就很容易达到这一目的，作好这样的替换，并根据关系式，我们求得 （A1-17） 将以上的结果代入式（A1-16），即得 （A1-18）这是一个初等微分方程，它的通解可以写成如下的形式：
6、 （A1-19）若令 （A1-20）就能看出，只要 （A1-21）式（A1-19）便于式（A1-15）全同，因而轨道为椭圆；这样就证明了开普勒第三定律。在式（A1-21）中，一定不要把离心率与治带来的常数混淆。根据式 （A1-22）将此式与式（A1-13）结合，可得 （A1-23）有半短轴因而由式（A1-21）取得 （A1-24）这样就证实了先前所说的，椭圆的短轴对长轴的比率等于。下面来导出开普勒第二定律，以便取得计算电子轨道磁矩所需要的知识，开普勒第二定律是说，矢径掠扫的面积与时间成正比。这是方程的直接推论，它对角动量守恒的任何有心都适用，不仅限于平方反比力作用下的运动。由于角度的增加，矢径在时间内掠扫过一个小三角形，其底为而高为，这个三角形的面积是。这样，掠扫的面积速率就是 （A1-25） 根据这个定理我们就一整个周期求积分，因而得到 周期（面积） （A1-26）现在可以利用上面所得的结果求出轨道磁矩。在制，一个电流回路的磁矩等于电流乘回路所包括的面积。电荷在一个周期内沿电子轨道回转一周，因而它等效于电流。于是我们就有等于(面积)的磁矩，也就是说，磁矩等于乘以角动量，正如在1-7中所述。
