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1、空间向量及其运算（一）空间向量的线性运算山东莒南三中 王加轩（276600）空间向量的线性运算与平面向量的线性运算相同，分为向量的加法、减法与数乘运算；运算的法则是：（1）三角形法则；（2）平行四边形法则；（3）数乘定义；（4）运算律和运算性质。适用范围是空间图形。ABCDA1B1D1C1NM例1EF由空间向量的线性运算可以体会理解解决立体几何问题的基本思想空间问题平面问题。空间向量的线性运算有以下几种题型：一、化简或表示一个向量例1如图所示，已知是平行六面体。（1）化简，并在图上标出结果；（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面对角线上的点，。设，试求，的值。分析：根据三角形法则和平行四边形
2、法则进行变形化简即可。解：（1）设E是AA1的中点，则，F为线段C1D1上的点，且那么，如图所示（注意：图上表示的位置不唯一）。（2），所以，二、根据有关定理证明几何命题：证明四点共面，线线、线面、面面平行等OABC例2例2已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外一点O，在下列条件下，点P是否一定与A，B，C共面？（1）；（2）分析：观察已知等式是否是四点共面的充要条件，如果不是，就要对已知等式进行变形化简，化为四点共面的充要条件的形式。可以画出徒刑，结合图形进行变形，如图。解：（1），即：，所以P与A，B，C四点共面。（也可以再变形为，推出四点共面）（2），即，而不能由和表示，所以不能把化为
3、的形式，所以P与A，B，C四点不共面。点拨：四点共面问题可以转化为向量共面问题有判定四点共面的充要条件或判断，也可以直接由结论且得出。例3已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，。求证：（1）四点E，F，G，H共面；（2）平面AC平面EG.。分析：可以先根据题意画出图形，对照图形进行变形。证明：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以又因为，即，所以四点E，F，G，H共面。（2），由（1）知：，所以EFAB,EGAC,所以平面AC平面EG.练习：1在三棱锥中，G为ABC的重心，则有（ ）A BOABC第2题MNC D2如图，空间四边形OABC中，点M在OA上，且，N为BC的中点，则等于（ ） A BC D3在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，则下列向量中与相等的是（ ）A BC DABCDA1B1C1D1M4如图，已知平行六面体，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式： （1）；（2）；（3）；（4）。（参考答案：1、B 2、B 3、A 4、（1）；（2）；（3）；（3）1
