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1、2020-2021中考数学专题训练-平行四边形的综合题分类附答案解析一、平行四边形1在图1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE2b，且边AD和AE在同一直线上操作示例当2ba时，如图1，在BA上选取点G，使BGb，连结FG和CG，裁掉FAG和CGB并分别拼接到FEH和CHD的位置构成四边形FGCH思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将FAG绕点F逆时针旋转90到FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故CHDCGB，从而又可将CGB绕点C顺时针旋转90到CHD的位置这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FMAE于
2、点M（图略），利用SAS公理可判断HFMCHD，易得FH=HC=GC=FG，FHC=90进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形实践探究（1）正方形FGCH的面积是 ；（用含a， b的式子表示）（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图联想拓展小明通过探究后发现：当ba时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移当ba时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由【答案】（1）a2+b2；（2）见解析；联想拓展：能剪拼成正方形.见解析【解析】
3、分析：实践探究：根据正方形FGCH的面积=BG2+BC2进而得出答案；应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化，BG永远等于等腰直角三角形斜边的一半注意当b=a时，也可直接沿正方形的对角线分割详解：实践探究：正方形的面积是：BG2+BC2=a2+b2；剪拼方法如图2-图4；联想拓展：能，剪拼方法如图5（图中BG=DH=b）点睛：本题考查了几何变换综合，培养学生的推理论证能力和动手操作能力；运用类比方法作图时，应根据范例抓住作图的关键：作的线段的长度与某条线段的比值永远相等，旋转的三角形，连接的点都应是相同的2如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接
4、DE、点C关于直线DE的对称点为C，连接AC并延长交直线DE于点P，F是AC的中点，连接DF（1）求FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出ACC的面积最大值【答案】（1）45；（2）BP+DPAP，证明详见解析；（3）1【解析】【分析】（1）证明CDECDE和ADFCDF，可得FDPADC45；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明BAPDAP（SAS），得BPDP，从而得PAP是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线CG，确定ACC的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C在BD上
5、时，CG最大，其ACC的面积最大，并求此时的面积【详解】（1）由对称得：CDCD，CDECDE，在正方形ABCD中，ADCD，ADC90，ADCD，F是AC的中点，DFAC，ADFCDF，FDPFDC+EDCADC45；（2）结论：BP+DPAP，理由是：如图，作APAP交PD的延长线于P，PAP90，在正方形ABCD中，DABA，BAD90，DAPBAP，由（1）可知：FDP45DFP90APD45，P45，APAP，在BAP和DAP中，BAPDAP（SAS），BPDP，DP+BPPPAP；（3）如图，过C作CGAC于G，则SACCACCG，RtABC中，ABBC，AC，即AC为定值，当CG
6、最大值，ACC的面积最大，连接BD，交AC于O，当C在BD上时，CG最大，此时G与O重合，CDCD，ODAC1，CG1，SACC【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题3在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F（1）如图，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H求证ADBAOB；求点H的坐标（
7、3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）【答案】（1）D（1，3）；（2）详见解析；H（，3）；（3）S【解析】【分析】（1）如图，在RtACD中求出CD即可解决问题；（2）根据HL证明即可；，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在RtAHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；（3）如图中，当点D在线段BK上时，DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，DEK的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】（1）如图中，A（5，0），B（0，3），OA=5，OB=3，四边形AOBC是矩形，AC=OB
8、=3，OA=BC=5，OBC=C=90，矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，AD=AO=5，在RtADC中，CD=4，BD=BC-CD=1，D（1，3）（2）如图中，由四边形ADEF是矩形，得到ADE=90，点D在线段BE上，ADB=90，由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，AOB=90，RtADBRtAOB（HL）如图中，由ADBAOB，得到BAD=BAO，又在矩形AOBC中，OABC，CBA=OAB，BAD=CBA，BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在RtAHC中，AH2=HC2+AC2，m2=32+（5-m）2，m=，BH=，H（，3）（3）如图中，当点D在
9、线段BK上时，DEK的面积最小，最小值=DEDK=3（5-）=，当点D在BA的延长线上时，DEK的面积最大，最大面积=DEKD=3（5+）=综上所述，S【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题4如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且ABC+ADC=180（1）求证：四边形ABCD是矩形（2）若ADF：FDC=3：2，DFAC，求BDF的度数【答案】(1)见解析；（2）18.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形AB
10、CD是平行四边形，求出ABC=90，根据矩形的判定得出即可；（2）求出FDC的度数，根据三角形内角和定理求出DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出CDO，即可求出答案【详解】（1）证明：AO=CO，BO=DO四边形ABCD是平行四边形，ABC=ADC，ABC+ADC=180，ABC=ADC=90，四边形ABCD是矩形；（2）解：ADC=90，ADF：FDC=3：2，FDC=36，DFAC，DCO=9036=54，四边形ABCD是矩形，OC=OD，ODC=54BDF=ODCFDC=18【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意
11、：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形5已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且.现将纸片折叠，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），点P为点D的对应点，再将纸片还原。（I）若点P落在矩形OBCD的边OB上，如图，当点E与点O重合时，求点F的坐标；如图，当点E在OB上，点F在DC上时，EF与DP交于点G，若，求点F的坐标：（）若点P落在矩形OBCD的内部，且点E，F分别在边OD，边DC上，当OP取最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）。 【答案】（I）点F的坐标为；点F的坐标为；（II）【解析】【分析】（I）根据折叠的性质可得,再由矩形的
12、性质，即可求出F的坐标;由折叠的性质及矩形的特点，易得，得到，再加上平行，可以得到四边形DEPF是平行四边形，在由对角线垂直，得出 是菱形，设菱形的边长为x，在中，由勾股定理建立方程即可求解;()当O,P,F点共线时OP的长度最短.【详解】解：（I）折痕为EF,点P为点D的对应点四边形OBCD是矩形，点F的坐标为折痕为EF，点P为点D的对应点.四边形OBCD是矩形，；四边形DEPF是平行四边形.，是菱形. 设菱形的边长为x，则，在中，由勾股定理得 解得 点F的坐标为 （）【点睛】此题考查了几何折叠问题、等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，关键是根据折叠的性质进行解答，属于
13、中考压轴题6在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且EAF=CEF=45.(1)将ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG(如图)，求证：AEGAEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图)，求证：EF2=ME2+NF2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，EAF=GAE=45，故可证AEGAEF；（2）将ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG，连结GM由（1）知AEGAEF，则EG=EF再由BME、DNF、CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明GME=90，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG，根据旋转的性质可以得到ADFABG，则DF=BG，再证明AEGAEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF试题解析：（1）ADF绕着点A顺时针旋转90，得
