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1、2020届广东省普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1已知集合则（ ）ABCD【答案】C【解析】根据集合的并集运算可得答案.【详解】因为集合所以.故选:C【点睛】本题考查了并集的运算,属于基础题.2设是虚数单位，则复数（ ）ABCD【答案】A【解析】根据复数的乘法运算可得答案.【详解】.故选:A【点睛】本题考查了复数的乘法运算,属于基础题.3某次歌唱比赛中，7位评委为某选手打出的分数分别为83，91，91，94，94，95，96，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为（ ）A94B93C92D91【答案】B【解析】去掉96和83后剩下5个数的和除以5可得答案.【详解】去掉一个最高分
2、96,去掉一个最低分83,剩下的数为:91,91,94,94,95,它们的平均数为:.故选:B【点睛】本题考查了利用平均数的定义求平均数,属于基础题.4直线的斜率是（ ）ABC2D【答案】A【解析】将直线方程化为斜截式,可得斜率.【详解】由得,所以的斜率为.故选:A.【点睛】本题考查了由直线方程的斜截式求斜率,属于基础题.5下列函数为偶函数的是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据偶函数的定义逐个判断可得答案.【详解】当时,所以为偶函数,为非奇非偶函数函数,与为奇函数.故选:B【点睛】本题考查了用定义判断函数的奇偶性,属于基础题.6（2015秋河西区期末）若sin0，且cos0，则角是（ ）A第
3、一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角【答案】B【解析】试题分析：直接由三角函数的象限符号取交集得答案解：由sin0，可得为第一、第二及y轴正半轴上的角；由cos0，可得为第二、第三及x轴负半轴上的角取交集可得，是第二象限角故选：B【考点】三角函数值的符号7函数的定义域是（ ）ABCD【答案】D【解析】利用被开方大于等于0列式,解一元二次不等式可得答案.【详解】由函数有意义,可得,解得或.故选:D.【点睛】本题考查了求二次根式函数的定义域,一元二次不等式的解法,本题属于基础题.8在等差数列中，若则（ ）ABC0D5【答案】C【解析】设等差数列的公差为,根据已知条件列方程组,解得首项
4、和公差,从而可得.【详解】设等差数列的公差为,则 ,解得 ,所以.故选:C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的基本量的运算,属于基础题.9已知函数，设，则（ ）A2BCD【答案】A【解析】由求得,再根据分段函数解析式求得即可得到答案.【详解】因为,所以,所以,所以.故选:A【点睛】本题考查了根据分段函数解析式求函数值,属于基础题.10设满足约束条件，则的最小值是（ ）ABCD【答案】C【解析】作出可行域后,根据斜率关系找到最优解,代入最优解的坐标可得的最小值.【详解】作出可行域,如图所示:将目标函数化为斜截式得,由图可知,最优解为,所以当,时,.故选:C【点睛】本题考查了利用线性规划求最小值
5、,作出可行域,根据斜率关系找到最优解是答题关键.11设，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据对数的性质以及单调性可比较大小.【详解】因为,所以.故选:D【点睛】本题考查了利用对数的性质以及单调性比较大小,属于基础题.12直线被圆截得的弦长为（ ）AB2CD1【答案】B【解析】先求出圆心到直线的距离,再根据勾股定理可求得弦长.【详解】由可知圆心为,半径为,所以圆心到直线的距离为,由勾股定理可得弦长为.故选:B【点睛】本题考查了由圆的标准方程求圆心和半径,考查了点到直线的距离公式,考查了勾股定理,属于基础题.13已知命题则为 （ ）ABCD【答案】D【解析】先否定存在量词,改为全称量词,再否定结
6、论.【详解】因为命题所以为: .故选:D【点睛】本题考查了含有一个存在量词的命题的否定,属于基础题.14一个棱长为2的正方体，其顶点均在同一球的球面上，则该球的表面积是（ ）（参考公式：球的表面积公式为，其中R是球的半径）ABCD【答案】D【解析】根据正方体的对角线是其外接球的直径,可得球的半径,进而可得球的表面积.【详解】因为正方体的对角线是其外接球的直径,所以正方体的外接球的直径,所以,所以该球的表面积.故选:D【点睛】本题考查了正方体与球的组合体,考查了正方体的对角线长定理,考查了球的表面积公式,属于基础题.15的内角A,B,C的对边分别为.已知,，且 的面积为2，则（ ）ABCD【答案
7、】B【解析】根据面积公式可求得,再根据余弦定理可求得.【详解】根据三角形的面积公式可得,所以,所以,由余弦定理可得,所以.故选:B【点睛】本题考查了三角形的面积公式以及余弦定理,本题属于基础题.二、填空题16设向量，若，则_【答案】【解析】根据向量共线的坐标表示列方程可解得.【详解】因为,所以,解得.故答案为:6【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示,本题属于基础题.17设等比数列的前n项和为，已知，则_【答案】7【解析】根据列方程可解得公比,再根据等比数列的前项和公式可求得答案.【详解】设等比数列的公比为,则,由,得,所以,所以.故答案为:7【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前项和公式的基
8、本量的计算,属于基础题.18从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张，则所取2张卡片上的数字之积为奇数的概率是_【答案】【解析】利用组合知识求得基本事件种数和所求事件包含的事件种数后,利用古典概型的概率公式可得答案.【详解】从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张,总共有种抽法,所取2张卡片上的数字之积为奇数的共有种抽法,根据古典概型的概率公式可得所求概率为.故答案为:【点睛】本题考查了古典概型的概率公式,关键是求出积为奇数时的抽法种数,属于基础题.19设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于A,B两点，若为等边三角形，则该椭圆的离心率为_【答案】【解析】利用
9、三角形为等边三角形可得,再根据椭圆的定义列式可得离心率.【详解】因为为等边三角形,所以,所以,又由椭圆的定义可知,所以,即,所以离心率.故答案为:.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质:离心率,利用正三角形的性质求出和后,再用椭圆定义列等式是答题关键,属于基础题.三、解答题20已知函数.(1)求函数的最小正周期和最大值；(2)若满足，求的值【答案】(1)的最小正周期是,最大值是1 (2)【解析】(1)利用正弦型函数的周期公式直接求出周期,根据正弦函数的最大值可求得函数的最大值;(2)利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求得答案.【详解】解：(1)函数，则的最小正周期是的最大值是1(2)由，得所以【点睛
10、】本题考查了正弦型函数的周期公式,正弦函数的最大值,诱导公式,二倍角的余弦公式,属于基础题.21如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，点D，E分别是的中点.(1)证明：平面；(2)若,证明：平面【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1) 连接,根据中位线可得,根据线面平行的判定定理可得平面;(2)根据直棱柱可得,根据等边三角形可得,根据线面垂直的判定定理可得平面,再根据性质定理可得,根据勾股定理可得,最后根据线面垂直的判定定理可得平面.【详解】证明：(1)连接，如图所示:在直三棱柱中，侧面是矩形，因为点E是的中点，所以点E是的中点又因为点D是BC的中点，所以,因为平面,平面,所以平面(2)连接，如图所示:在直三棱柱中，因为平面，平面，所以 又因为底面是等边三角形，D为BC的中点，所以，又，所以平面，又平面所以由，得，又所以所以，所以，即平面【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理,直线与平面垂直的判定定理以及性质定理,利用勾股定理证明是答题关键.
