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1、优选文档因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被宽泛地应用于初等数学之中，是我们解决很多半学识题的有力工具因式分解方法灵巧，技巧性强，学习这些方法与技巧，不但是掌握因式分解内容所必要的，并且对于培育学生的解题技术，发展学生的思想能力，都有着十分独到的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式
2、，比方：（1）(a+b)(a-b)=a2-b2-a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(ab)2=a22ab+b2a22ab+b2=(ab)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3-a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3-a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下边再增补两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知a，b，c是ABC的三边，且a2b2c2abbcca，则ABC的形状是（）A.直
3、角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解：a2b2c2abbcca2a22b22c22ab2bc2ca三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：amanbmbn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不可以运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，所以能够考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，而后再考虑两组之间的联系。解：原式=(aman)(bmbn)=a(mn)b(mn)每组之间还有公因式！=(mn)(ab)例2、分解因式：2ax10ay5bybx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组
4、。第二、三项为一组。解：原式=(2ax10ay)(5bybx)原式=(2axbx)(10ay5by)=2a(x5y)b(x5y)=x(2ab)5y(2ab)=(x5y)(2ab)=(2ab)(x5y)练习：分解因式1、a2abacbc2、xyxy1（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：x2y2axay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，固然能够提公因式，但提完后就能连续分解，所以只好其他分组。解：原式=(x2y2)(axay)=(xy)(xy)a(xy)=(xy)(xya)例4、分解因式：a22abb2c2解：原式=(a22abb2)c2=(ab)2c2=(abc)(abc)
5、练习：分解因式3、x2x9y23y4、x2y2z22yz综合练习：（1）x3x2yxy2y3（2）ax2bx2bxaxab（3）x26xy9y216a28a1（4）a26ab12b9b24a（5）a423a292x4a2yb2xb2ya（6）4a（7）x22xyxzyzy2（8）a22ab22b2ab1（9）y(y2)(m1)(m1)（10）(ac)(ac)b(b2a)（11）a2(bc)b2(ac)c2(ab)2abc（12）a3b3c33abc四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式x2(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。特色：（1）二次项系数是1；2）常数项是两个
6、数的乘积；3）一次项系数是常数项的两因数的和。思虑：十字相乘有什么基本规律？例.已知0a5，且a为整数，若2x23xa能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.分析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求b24ac0并且是一个完整平方数。98a为完整平方数，a1于是例5、分解因式：x25x6分析：将6分红两个数相乘，且这两个数的和要等于5。因为6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中能够发现只有23的分解合适，即2+3=5。12解：x25x6=x2(23)x2313(x2)(x3)12+13=5用此方法进行分解的要点：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要
7、等于一次项的系数。例6、分解因式：x27x6解：原式=x2(1)(6)x(1)(6)1-1=(x1)(x6)1-6（-1）+（-6）=-7练习5、分解因式(1)x214x24(2)a215a36(3)x24x5练习6、分解因式(1)x2x2(2)y22y15(3)x210x24（二）二次项系数不为1的二次三项式ax2bxc条件：（1）aa1a2a1c1（2）cc1c2a2c2（3）ba1c2a2c1ba1c2a2c1分解结果：ax2bxc=(a1xc1)(a2xc2)（ 例7、分解因式：3x211x10分析：1-23-5-6）+（-5）=-11解：3x21110=(x2)(3x5)x练习7、分
8、解因式：（1）5x27x6（2）3x27x2（3）10x217x3（4）6y211y10（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：a28ab128b2分析：将b看作常数，把原多项式看作对于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：a28ab128b2=a28b(16b)a8b(16b)= (a8b)(a16b)练习8、分解因式(1)x23xy2y2(2)m26mn8n2(3)a2ab6b2（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、2x27xy6y2例10、x2y23xy21-2y把xy看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y
9、(-1)+(-2)=-3解：原式=(x2y)(2x3y)解：原式=(xy1)(xy2)练习9、分解因式：（1）15x27xy4y2（2）a2x26ax8综合练习10、（1）8x67x31（2）12x211xy15y2（3）(xy)23(xy)10（4）(ab)24a4b3（5）x2y25x2y6x2（6）m24mn4n23m6n2（7）x24xy4y22x4y3（8）5(ab)223(a2b2)10(ab)2（9）4x24xy6x3yy210（10）12(xy)211(x2y2)2(xy)2思虑：分解因式：abcx2(a2b2c2)xabc五、换元法。例13、分解因式（1）2005x2(200
10、521)x2005（2）(x1)(x2)(x3)(x6)x2解：（1）设2005=a，则原式=ax2(a21)xa=(ax1)(xa)(2005x1)(x2005)2）型如abcde的多项式，分解因式时能够把四个因式两两分组相乘。原式=(x27x6)(x25x6)x2设x25x6A，则x27x6A2x原式=(A2x)Ax2=A22Axx2=(Ax)2=(x26x6)2练习13、分解因式（1）(x2xyy2)24xy(x2y2)（2）(x23x2)(4x28x3)90（3）(a21)2(a25)24(a23)2例14、分解因式（1）2x4x36x2x2观察：此多项式的特色是对于x的降幂摆列，每一项的次数挨次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保存系数，而后再用换元法。解：原式=x2
