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1、本栏目内容在学生用书中以活页形式分册装订！授课提示：对应课时作业（五十五）一、选择题(每小题6分,共36分)1.（2009年北京高考）若（1+）5=a+b（a,b为有理数），则a+b=（）A.45 B.55C.70 D.80解析：由二项式定理得：答案：C2.（2009年重庆高考）（x2+）8的展开式中x4的系数是（）A.16 B.70C.560 D.1 120解析：答案：D3.（2009年江西高考）（1+ax+by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243,不含y的项的系数绝对值的和为32，则a,b,n的值可能为（）Aa=2,b=-1,n=5 Ba=-2,b=-1,n=6Ca=-1,b=2
2、,n=6 Da=1,b=2,n=5解析：不含x的项的系数的绝对值为（1+|b|）n=243=35,不含y的项的系数的绝对值为（1+|a|）n=32=25,n=5,1+|b|=3,1+|a|=2,故选D.答案：D4.设（1+x)8=a0+a1x+a8x8,则a0,a1,a8中奇数的个数为（）A2 B3C4 D5解析：a0=C08=1,a1=C18=8,a2=C28=28,a3=C38=56,a4=C48=70.Ck8=C8-k8（k=0,1,2,8），只有a0和a8为奇数.答案：A5.如果（3x2- ）n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（）A3 B5C6 D10解析：Tr+1=Cr
3、n(3x2)n-r（- ）r=(-2)r3n-rCrnx2n-5r,当2n-5r=0时，2n=5r,又nN*,rN.n是5的倍数.答案：B6在（x- ）2 006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=2时，S等于（）A.23 008 B.-23 008C.23 009 D.-23 009解析：由题意设（x-）2 006=a0+a1x+a2x2+a3x3+a2 006x2 006.（-x-）2 006=a0-a1x+a2x2-a3x3+-a2 005x2 005+a2 006x2 006.-得2（a1x+a3x3+a5x5+a2 005x2 005）=（x-）2 006-（x+）2 0
4、06.把x=2代入上式得二项式展开式中含x的奇次幂的项的和.S=-=-23 008.答案：B二、填空题(每小题6分,共18分)7.（2009年全国）（x-y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于.解析：T4=-C310x7y3,T8=-C710x3y7,则x7y3与x3y7的系数之和为-2C310=-240.答案：-2408.（2009年全国）（x-y)4的展开式中x3y3的系数为.解析：Tr+1=Cr4（x）4-r（-y）r=Cr4（-1）r,Tr+1中含x3y3，需=3, =3,此时r=2,x3y3的系数为C24（-1）2=6.答案：69.（2010年上海春季高考）在（2
5、x2+）6的二项展开式中，常数项是.解析：Tr+1=Cr6(2x2)6-r()r=26-rCr6x12-2rx-r=26-rCr6x12-3r,12-3r=0,r=4,常数项为60.答案：60三、解答题(共46分)10.（15分）设（2- x）100=a0+a1x+a2x2+a100x100，求下列各式的值.（1）a0；（2）a1+a2+a100；（3）a1+a3+a5+a99.解析：（1）由（2-x）100展开式中的常数项为C01002100，即a0=2100，或令x=0，则展开式可化为a0=2100；（2）令x=1，可得a0+a1+a2+a100=（2-）100，a1+a2+a100=（2
6、-）100-2100；（3）令x=-1，可得a0-a1+a2-a3+a100=（2+）100，与x=1所得到的联立相减可得a1+a3+a99=.11.（15分）（1）求（x2-x-2)4展开式中x3的系数.（2）求(4+2x+x2)(2-x)7展开式中x4的系数.（3）求(1-x)3+(1-x)4+(1-x)5+(1-x)10展开式中x2的系数.解析：（1）所给的式子不是二项式，不能直接用公式展开，应设法转为二项式后再求解.解法一(x2-x-2)4=x2-(x+2)4,将(x+2)看成二项式的一项，经分析易知，含x3的项只可能出现在展开式最后两项中，它们是-C34x2(x+2)3+(x+2)4
7、,进一步分析得，x3系数为-C34C2322+C142=-40.解法二因(x2-x-2)4=(x-2)4(x+1)4,故可知x3项出现的情况有以下四种：(x-2)4展开式中的常数项与(x+1)4展开式项中x3项相乘，(x-2)4展开式x项与(x+1)4展开式项中x2项相乘，(x-2)4展开式中的x2项与(x+1)4展开式中x项相乘，(x-2)4展开式中的x3项与(x+1)4展开式中的常数项相乘，可得x3的系数为(-2)4C34+(-2)3C14C24+C24(-2)2C14+C34(-2)=-40.(2)解法一因(4+2x+x2)(2-x)7=(8-x3)(2-x)6,所以x4项出现的情况有以
8、下两种：8-x3中的8与(x-2)6展开式中的x4项相乘，8-x3中的-x3与(2-x)6展开式中的x项相乘，故可得x4项的系数为8C46-22-C1625(-1)=672.解法二由原式直接分析，x4项出现的情况有以下三种：(4+2x+x2)中的4与(2-x)7展开式中的x4项相乘，(4+2x+x2)中的2x与(2-x)7展开式中的x3项相乘，(4+2x+x2)中的x2与(2-x)7展开式中的x2项相乘.故可得x4项的系数为4C4723+2C3724(-1)+C2725=672.（3）解法一对每个二项式逐个分析展开式中的x2项的系数可知，原式展开合并同类项后x2项的系数为C23+C24+C23
9、+C210,利用组合数性质2经计算得C23+C24+C25+C210=C311-C33=164.解法二将原式看成首项为(1-x)3,公比为1-x的等比数列前8项的和，当x1时：(1-x)3+(1-x)4+(1-x)5+(1-x)10=(1-x)3-(1-x)11，只需求(1-x)3-(1-x)11展开式中x3系数，易得为-1-C311(-1)3=164.12.（16分）（1）求（+x-1）5展开式中的一次项；（2）等比数列an中，an0,试化简A=C0nlg a1-C1nlg a2+C2nlg a3-+(-1)nCnnlg an+1.解析：（1）解法一所求展开式的通项Ts+1=(-1)rCr5
10、(+x)5-r, 又（+x）5-r展开式的通项Ts+1=Cs5-r(1x)5-r-sxs=C s 5-rx2s+r-5,故所求展开式的通项为(-1)rCr5Cs5-rx2s+r-5,其中0r5,0s5-r,r、sN.令2s+r-5=1,则r=0, r=2 r=4 s=3.或, s=2 或 s=1.所求的一次项为（C05C35+C25C23+C45）x=45x.解法二（+x-1）5就是5个(+x-1)这样的“括号”的乘积，故所求一次项有以下几种可能的构成：1个括号中出，另外2个括号中出x，余下的2个括号出-1；2个括号中出,另外3个括号中出x;1个括号中出x，另外4个括号中出-1.所求的一次项为
11、：C15C24x2(-1)2+C25()2C33x3+C15xC44(-1)4=45x.（2）由已知，an=a1qn-1,n=1时,A=lg a1;n1时，A=lg a1-C1n(lg a1+lg q)+C2n(lg a1+2lg q)-C3n(lg a1+3lg q)+(-1)nCnn(lg a1+nlg q)=lga11-C1n+C2n-+(-1)nCnn-lg qC1n-2C2n+3C3n-+(-1)n-1nCnn=lga1(1-1)n-lg qnC0n-1-nC1n-1+nC2n-1-+(-1)n-1nCn-1n-1=0-nlg qC0n-1-C1n-1+C2n-1-+(-1)n-1Cn-1n-1=-nlg q(1-1)n-1=0.
