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1、对集合的一点新认识小学集合的认识对集合一点新认识 【摘要】：空集（）是一类特殊集合，在集合研究中处于基础地位。本文运用逻辑演绎方法，从理论上通过对空集的重新认识阐述，叙述了空集的现行概念、与非空集（）关系及悖论性； 初步定义“嵌套集”的相关概念及推广。 【关键词】：空集； 悖论性； 嵌套性； 循环节 一、对空集（）的认识 1空集（）的现有定义 不含任何元素的集合称为空集，记作。 2.空集（）与非空集（）之间的关系 现行教材的规定： 空集（）是一切集合的子集； 空集（）是一切非空集（）的真子集。 空集（）与非空集（）之间定义了2种关系，即“子集”，“真子集”关系； 或CC 3悖论性，“空集的二重
2、性” 若给定空集（）与集合A=1，2，那么存在如下命题： （I）A，理由：集合的定义； （II）CA或CA，理由：空集的性质（规定）。 前者反映集合与元素之间关系的唯一性； 要么属于，要么不属于； 后者反映集合与集合之间关系的明确性，定义出“包含”、“不包含”、“真包含”等意义。 由此说明空集（）的二元性：在同一条件下，既是集合又是元素，从而说明集合、元素概念的矛盾性（并不完备）。 二、对非空集（）的认识 给定2个集合A=1，2，B=1，2，A。试确定二者之间的关系。显然，从集合与元素之间的关系出发，有AB； 若从集合与集合之间的关系考虑，A与B之间满足“真包含”关系，即BCA。前者肯定了集合
3、与元素之间的关系，后者肯定了集合与集合之间的关系。那么在同一条件下集A与集B究竟应该明确如何关系呢？目前中学教材尚无定论。当问题出现时，老师和学生就不好把握。 三、“属于”“”，“子集”“C”，“真子集”“C”在同一条件下的地位分析 例证：给定集合A、B， A=1，2 B=1，2，A 从现有的教材我们可以看出，集合与元素之间的从属关系在前，集合与集合之间的（真）子集关系在后。这2种关系是相对独立的。 讨论： 1O.如果肯定了AB,那么就否定了A与B的子集关系； 2O.如果肯定了ACB,则否定了AB，也就是不能肯定A与B的从属关系，进而否定了集合的定义。 分析： 由于集合与元素之间的从属关系在前
4、，是铺垫、是基石，因而先要作出肯定。为了避开或解决它们之间的矛盾，排除以子集为元素的情况。我们规定ACB任意aA,则aB,且AB，这样就明确了A与B资集关系的唯一性。 四、嵌套集 定义集合A=1,2,B,B=A.则A为嵌套集。其中1，2为嵌套集的循环节。 例证推演： 设集合A=1，2，B,且B=A； 则集A可作如下的推演， A=1,2,B=1,2,1,2,B=1,21,21,2,B= 这里集A中存在嵌套元素B。 特例 考察数列an,an=(有n个“”)，求an?(n). 解法一：利用代数方程求解 令A=，A=an则有A=B(n)。注意，这里A=B是隐含条件； 对A=变形得A2=2B，利用A=B，求出A=2. 解法二：利用等比数列性质公式求值 an=2，等比数列an的首项和公比都是1/2，无穷项之和S=1，因此an2(n).于是得到=2. 从以上两种证法比较看出，利用代数方程求解（嵌套分离）方法较为简单。 像这种循环根式如上例化简都可以通过循环节来建立代数方程求解。 思考： 根式化简 T1:（提示：由A2=aA得到A=a） T2:（提示：由A4=223B得到A=） T3:（提示：由A6=233B得到A=） 求解循环根式重要的是找出循环节； 如T1式,循环节； T2式,循环节； T3式,循环节。然后建立代数方程求解。 作者：老*职业技术学校陈中林 第 2 页 共 2 页
