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1、线性代数与解析几何练习题行列式部分一填空题：1 若排列1274569是偶排列，则2 已知是五阶行列式中的一项，且带正号，其中（则3 设是n阶可逆阵，且，则，（为常数）4 已知 用表示D的元素的代数余子式，则，行列式 5 设有四阶矩阵 ，其中均为4维列向量，且已知行列式，则行列式6设 则7设 上述方程的解8设A是阶方阵，且A的行列式，而是A的伴随矩阵，则9若齐次线性方程组 只有零解，则应满足条件。二计算题：1 已知5阶行列式 求和，其中是元素的代数余子式。解：2 计算行列式。解：3 设是阶方阵，且，求。解：4 设是阶实对称矩阵，若，求。解：相似于对角阵，而r(A) = k , 所以。对于矩阵 A
2、+3I , 有一个，以及一个，5 计算解：矩阵部分一 填空题：1 设三阶方阵A，B满足，且，则。2 设，其中，则矩阵A的秩= 1 .3 设A是的矩阵，且A的秩为2，而，则（）4 已知a=1 , 2 , 3 , b= , 设A=，则（）5 设矩阵 则逆矩阵6 设，B为三阶非零矩阵，且AB=O ，则7 设四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵的秩为 0 。8 设A，B 均为阶矩阵，则9 设A是三阶方阵，是A的伴随矩阵，则（）。10设A ，C分别为阶和阶的可逆矩阵，则分块矩阵的逆矩阵11 设阶方阵A满足方程，则A的逆矩阵（）12 设 ，而为正整数，则 13 设A ，B是阶矩阵，且AB=A+B ，则（）二
3、选择题：1设阶矩阵A ，B ，C满足关系式 ABC=E ，其中E 是阶单位矩阵，则必有（ D ） （A）ACB=E （B）CBA=E （C）BAC=E （D）BCA=E2设A是阶方阵，是A的伴随矩阵，又为常数，且，则必有=（ B ） 3设A是阶可逆矩阵，是A的伴随矩阵，则有（ A ）4设则必有（ C ） 5设A ，B均为阶方阵，则必有（ D ）（A） （B）（C） （D）6.设维向量,矩阵,其中为阶单位矩阵,则( C )(A) 0 (B) I (C) I (D)7.设A是阶可逆矩阵，是A的伴随矩阵,则( C )(A) (B) (C) (D)8.设阶矩阵 ,若矩阵A的秩为,则必为( B )(A)
4、 1 (B) (C) 1 (D)9.设均为阶可逆矩阵,则等于( C )(A) (B) (C) (D)三 计算题：1 已知，求 （是自然数）解：由归纳法，2 已知AP=PB ，其中 ， 求：及 。解： 3已知阶方阵 求A中所有元素的代数余子式之和。解：3 已知矩阵满足：，其中，求矩阵。解： 5设矩阵，满足 其中 是A的伴随矩阵，求矩阵B 。解：6 已知，且，其中为三阶单位矩阵，求矩阵。解：7 设阶方阵，求。解：故时，；时， r(A)=n-1; 当a1且a1-n时, r(A)=n四 证明题：1 设A是阶非零方阵，是A的伴随矩阵，是A的转置矩阵，当时，证明。 证明：另证（反证法）：与题设矛盾。2 设
5、是阶方阵，若，证明： （其中是A的伴随矩阵）证明：3 设 ，为的代数余子式，且 ，求证：证明：4 用矩阵秩和向量组秩的关系证明 证明：设，即的列皆由的列线性表示，故类似可证的行皆由的行线行表示，所以。5 设为矩阵，为矩阵，若，证明证明：所以，即为齐次线性方程组的解，因此可由的基础解系线性表示，所以，即。6 设A是阶方阵，是A的伴随矩阵，证明： 秩 证明：(1) 可逆，而可逆， （2）， 又A至少有一个n-1阶子式不为零，从而 （3）的所有n-1阶子式全为零。故，从而。空间向量与线性方程组部分一 填空题：1. 设则2. 点在平面上的投影点是（ 将其代入可得）4 过原点及点且与平面垂直的平面方程是
6、5 平面上的直线绕轴旋转一周所得旋转曲面方程为6 曲线在平面上的投影曲线为7 已知向量组，则该向量组的秩.7设阶矩阵的各行元素之和均为零，且的秩为，则线性方程组的通解为8已知向量组的秩为2，则.9若线性方程组 有解，则常数应、满足条件。（）10若向量组（）可由向量组（）线性表示，则秩（）秩（）。 二选择题1设直线，平面，则（ B ）（A）与平行 （B）与垂直 （C）在 上 （D）与斜交2已知是非齐次线性方程的两个不同的解，是对应的齐次线性方程组的基础解系，为任意常数，则方程组的通解必是（ B ） 3. 使 ， 都是线性方程组的解，只要系数为（ A ） 4已知向量组线性无关，则向量组（ C ）线
7、性无关 5设是矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）若仅有零解，则有唯一解若有非零解，则有无穷多个解若有无穷多个解，则仅有零解若有无穷多个解，则有非零解6设有向量组，则该向量组的极大线性无关组是（ B ） 7非齐次线性方程组中未知量个数为，方程个数为，系数矩阵的秩为，则（ A ）时，方程组有解 时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解 时，方程组有无穷多解 8若向量组线性无关；线性相关，则（ C ）必可由线性表示 必不可由线性表示 必可由线性表示 必不可由线性表示 9设向量可由向量组线性表示，但不能由向量组：线性表示，记向量组：，则（ B ）不能由线性表示，也
8、不能由线性表示不能由线性表示，但可由线性表示可由线性表示，也可由线性表示可由线性表示，但不能由线性表示三计算题1 求点向直线所作的垂线方程。解：，得出2 求异面直线与的距离。解：3 已知方程组 的解空间的维数为2，求方程组的通解。解：4 设 ，求一个秩为2的3阶矩阵使 。解：5 设三元非齐次方程组的系数矩阵的秩为2，且它的三个解向量满足求的通解。解：6 取何值时，线性方程组 有唯一解，无解或有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。解： ，方程组有唯一解，方程组无解，方程组有无穷多解 7 已知及，问：（1）为何值时，不能由线性表示。（2）为何值时，有的唯一线性表示？并写出该表示式。解：，不能线
9、性表示，四证明题1 已知，证明：向量共面。证明：等式两边点乘向量 c , 得到，所以向量 a , b , c共面。2 证明：三个平面经过同一条直线的充要条件是。证明：三平面经过同一条直线 有非零解，3 已知，其中，三条直线，证明三条直线相交与一点的充要条件为线性无关，线性相关。证明：三条直线交于一点有唯一解其中4已知向量组（）；（）；（）如果各向量组的秩分别为（）（）=，（）=。证明：向量组的秩为。证明：因为 r (I) = r (II) = 3 ，所以由于线性无关，得，所以 r (III) = 44 设向量组是齐次线性方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，即。试证明：向量组线性无关。证明
10、：设两边左乘A ，利用 从而有 线性无关 相似矩阵及二次型部分一 填空题1）为3阶矩阵，若有特征值 ，则2）设为阶矩阵，为的伴随矩阵，为阶单位阵，若有特征值，则必有特征值；的特征值。3） 为阶矩阵的元素全为1，则的个特征值是n , 0 , 0 , ，0。4） 二次型是正定的，则的取值范围是 。5）n阶矩阵具有n个线性无关的特征向量是与对角阵相似的 充要 条件。6）n阶矩阵具有n个不同的特征值是与对角阵相似的 充分 条件。7）设为3阶矩阵，已知均不可逆，则一定相似于矩阵。8）已知相似，则。二选择题1设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一特征值等于（ B ）（） （） （） （）2若是矩阵的对应的
11、特征向量，则矩阵对应的特征向量（ A ）（） （） （） （）3设是的实矩阵，则方程组只有零解是正定矩阵的（ C ）条件。（）充分 （）必要 （）充要 （）既非充分也非必要三计算题1 已知是的特征向量，其中，求及所对应的特征值。解: ，解出 k = 1或 k = -22 设是阶方阵，2 ，4 ，6 ，2n 是的个特征值，是阶单位阵，求。解: 3 已知三阶实对称矩阵的三个特征值为 1，1，-2，且是对应的特征向量，求矩阵。解: 设特征值对应的特征向量是，由，得，解此线性方程组，求出基础解系4 已知三阶矩阵相似于对角阵，试求。解: 同理 所以5 已知二次型的秩为2 ，（1） 求参数及二次型对应矩阵的特征值。（2） 写出标准形及所用的正交变换矩阵。解:(1), 标准形为, 正交变换矩阵为6 设4阶方阵满足条件，求方阵的伴随矩阵的一个特征值。解: 是矩阵A的一个特征值。四证明题：1 设为实矩阵，为阶实对称矩阵且正定，证明：正定的充要条件是。证明：2 已知为幂零矩阵（），证明：证明： 3 设维向量线性无关，且与都正交，证明：线性相关。证明：若,则线性无关，而线性相关可由线性表示，且表示法唯一设,则,从而线性相关。4 设为阶矩阵且正定，为实维列向
