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1、专题3 第2讲 三角变换及解三角形一、选择题1(2011辽宁理，4)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinBbcos2Aa，则()A2B2C. D.答案D解析asinAsinBbcos2Aa，sin2AsinBsinBcos2AsinA，sinBsinA，ba，.2(2011福建理，3)若tan3，则的值等于()A2 B3C4 D6答案D解析由2tan236，故选D.3(2011浙江理，6)若0，0，cos()，cos()，则cos()()A. B. C. D. 答案C解析()()，cos()cos()()cos()cos()sin()sin()0，0，.又cos
2、()，cos()，sin()，sin().cos()，选C.4(2011四川理，6)在ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则A的取值范围是()A(0， B，)C(0， D，)答案C解析sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，由正弦定理得：a2b2c2bc，即b2c2a2bc，由余弦定理得：cosA，0bBa0，ab.7(2011天津理，6)如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则sinC的值为()A. B.C. D.答案D解析如图，根据条件，设BD2在ABC中，由正弦定理：在ABD中，由余弦定理：cosA，sinAsinC，故选D
3、.8(2011浙江五校二次联考)若ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，且a1，B45，SABC2，则b()A5 B25C. D5答案A解析解法一：由SABCacsin452c4，再由余弦定理可得b5.解法二：作三角形ABC中AB边上的高CD，在RtBDC中求得高CD，结合面积求得AB4，AD，从而b5.二、填空题9(2011江苏启东中学模拟)在ABC中，BC1，B，当ABC的面积等于时，tanC_.答案2解析SABCacsinB，c4.由余弦定理：b2a2c22accosB13，cosC，sinC，tanC2.10(2010山东理，15)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
4、若a，b2，sinBcosB，则角A的大小为_答案解析sinBcosBsin，0B，B，B，又，sinA，ab，AB，故A.11(文)(2011江西文，14)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若p(4，y)是角终边上的一点，且sin，则y_.答案8解析|OP|，根据任意角三角函数的定义得，解得y8，又sin0及P(4，y)是角终边上一点，可知为第四象限角，y8.(理)(2011上海理，8)函数ysin(x)cos(x)的最大值为_答案解析ysin(x)cos(x)cosx(cosxsinx)cos2xsinxcosxsin2x(cos2xsin2x)sin(2x)，故最大值为.12(
5、2011安徽理，14)已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_答案15解析设三角形的三边依次为a4，a，a4，最大角为.由余弦定理得(a4)2a2(a4)22a(a4)cos120，则a10，所以三边长为6,10,14，SABC610sin12015.三、解答题13(文)(2011江苏，15)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.(1)若sin(A)2cosA，求A的值；(2)若cosA，b3c，求sinC的值解析(1)由题设知sinAcoscosAsin2cosA.从而sinAcosA，所以cosA0，tanA.因为0A，所以A.(2)由c
6、osA，b3c及a2b2c22bccosA，得a2b2c2，故ABC是直角三角形，且B.所以sinCcosA.(理)(2011湖北理，16)设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a1，b2，cosC.(1)求ABC的周长；(2)求cos(AC)的值解析(1)c2a2b22abcosC1444，c2.ABC的周长为abc1225.(2)cosC，sinC.sinA.ac，AC，故A为锐角，cosA，cos(AC)cosAcosCsinAsinC.14(文)(2011江西文，17)在ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c，已知3acosAccosBbcosC(1)求cosA的值；
7、(2)若a1，cosBcosC，求边c的值解析(1)由余弦定理b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC有ccosBbcosCa，代入已知条件得3acosAa，即cosA(2)由cosA得sinA则cosBcos(AC)cosCsinC，代入cosBcosC得cosCsinC，从而得sin(C)1，其中sin，cos(00得，即C，则由sinC得cosC.由a2b24(ab)8得：(a2)2(b2)20，得a2，b2，由余弦定理得c2a2b22abcosC82，所以c1.15(2011年5月南通、扬州、泰州)已知向量m与n(3，sinAcosA)共线，其中A是ABC的内角(1)求角A的大小；(2)若BC2，求ABC的面积S的最大值，并判断S取得最大值时ABC的形状解析(1)因为mn，所以sinA(sinAcosA)0.所以sin2A0，即sin2Acos2A1，即sin1.因为A(0，)，所以2A.故2A，A.(2)设角A、B、C所对的边分别为a，b，c，则由余弦定理，得4b2c2bc.而b2c22bc，bc42bc，bc4(当且仅当bc时等号成立)，所以SABCbcsinAbc4，当ABC的面积取最大值时，bc.又A，故此时ABC为等边三角形
