《小升初奥数思维训练第5讲：数论(二)-约数倍数、质数合数、分解质因数(拓展训练)(含答案解析).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小升初奥数思维训练第5讲：数论(二)-约数倍数、质数合数、分解质因数(拓展训练)(含答案解析).docx（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第5讲 数论(二)约数倍数、质数合数、分解质因数1.975 x 935 x 932 x (),要使这个乘积的最后四位数字都是0,括号里最小应填什么数？【答案】20【解析】【详解】末尾产生四个0,是由于有四个5和四个偶数相乘，975 = 3 x 52 x 13,935 = 5 x 11 x 17,932 = 22x 233,括号里的数必须有个5和两个偶数，最小是20 =22 x 5。2.4200有多少个约数？这些约数的和是多少？【答案】48个 14880【解析】【详解】4200=2X2X2X3X5X5X7因数有(3+1) X (1 + 1) X (2+1) X (1+1)=48 个因数的和为(1
2、+2+4+8) X (1+3) X (1+5+25) X (1+7)=148803.23个不同的整数的和是4845,问：这23个数的最大公约数可能值到达的最大的值是多 少？【答案】17【解析】【详解】设23个不同的正整数的最大公约数为d,那么23个不同的正整数位dai、da2.、d&3为互不相同正整数4845=dai+da2+d&3=d (ai+a2+如3)a,+a2+a23最小为 1+2+23=(23+1) X234-2=2764845=3X5X 17X194845的约数中，大于276的最小约数是3X5X19=285即ai+aj+柘23最小为285所以最大公约数d可能到达的最大值=48459
3、285=174.10个非零自然数的和是1001,那么它们的最大公约数的最大值是多少？ (2002我爱数学少 年夏令营)【答案】91【解析】【详解】设这10个非零自然数分别是a” &, &, a.o,它们的最大公约数是a,那么a”&,，都是a的倍数，因此1001是a的倍数，1001 = 7x11x13a是1001的约数，显然a不能取1001,假设a取143,那么a】+a2a】。至少是1430也不可能，因此a最大是7 X 13=91有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走12()米，乙每分钟行走1()0米，丙每分钟行走70米。 如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后
4、 3人又可以相聚？【答案】30分钟【解析】【详解】解法一：设在x分钟后3人再次相聚，甲走了 120x米，乙走了 100x米，丙走了70x米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍。即120x-100x, 120x-70x, 100x-70x 均是300的倍数，那么300就是20x, 50x, 30x的公约数。有(20x, 50x, 30x) =300,而(20x, 50x, 30x) =x (20, 50, 30)二lOx,所以 x=30。即在 30 分钟后，3 人又可以相聚。 解法二：甲第一次追上乙需：300+ (120-100) =15 (分)：甲第一次追上丙需：3004-(120-70
5、) =6 (分)；乙第一次追上丙需：300。(100-70) =10 (分)；由于15, 6,10=30,所以3人再此相聚需要过30分钟!又例：甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米的环形胞道行走，甲每分钟走80米，乙 每分钟走50米，两人至少经过多长时间才能在A点相遇。分析：甲，乙走一圈分别需要5分钟和8分钟，因此他们要是在A点再次相遇，两人都要 走整圈数，所以所需的时间应是5和8的最小公倍数40分钟。5. 现在有4个自然数，他们的和是llllo如果要求这四个数的公约数尽可能大，那么这4个数的公约数最大可能是( 1989年小学数学奥林匹克初赛试题)【答案】101【解析】【详解】解答此题的关
6、键是利用约数的知识和整数的性质，由题中4个自然数的和是1111, 可知这4个自然数的公约数也一定是1111的公约数，这样，把讨论4个数的公约数问题转 化为讨论1111的约数问题。1111=101X11,约数只能是1, 11, 101, llllo显然1111不符合题目要求，而101是可 能的，例如取这4个自然数的为101X1, 101X2, 101X3, 101X5。因此这4个自然数的 公约数最大可能是101o答：这4个自然数的公约数最大可能是101。6. 从1到2005的所有自然数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？【答案】31个【解析】【详解】因为72 = 23 x 32,所以要想乘以7
7、2以后是完全平方数，这个数本身应该是某个完 全平方数的2倍。因为2 x 312 = 1922 V 2005 2 x 322 = 2048,所以从1到2005中，符 合要求的数有31个。7. |1 + 2? + 3，+ 4, + ZOOS?。”除以1。所得的余数为多少？【答案】3【解析】【详解】求结果除以10的余数即求其个位数。从1到2005这2005个数的个位数字是10个 一循环的，而对于一个数的宿方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把每个加数 的个位数按20个一组，那么不同组中对应的数字应该是一样的。首先计算| + 22 + 33 + 44 + - + 2()2的个位数字为4。200
8、5个加数中有100组另5个数，100组的个位数是4 x 100 = 400的个位数即，另外5个数为20012001 2OO220022OO32003 2OO42004 20052OS它们和的个位数字是1+4 + 7 + 6+5 = 23的个位数3,所 以原式的个位数字是3,即除以10的余数是39.2007 2007+2008 2008 X 444444的个位数为多少？【答案】9【解析】【详解】任何数乘方的尾数都是4个数一周期，7是7、9、3、1循环，因为2007.4=5013,所以2OO72007尾数是3,8是8、4、2、6循环，因为2008能被4整除，所l2OO82008尾数是6,4是4、6、4、6循环，因为98 4=2,所以444444*尾数是6,所以原式的尾数为3+6X6=39,尾数是9。10.个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168后的结果也是一个完全平 方数，那么这个正整数是多少？【答案】156【解析】【详解】设加上100后为。2,加上168后为力2,那么b2-a2 = 168- 100 = 68.即(a + b)x (b - a) = 68：因为a + b与b - a的奇偶性相同，所以只可能是a + b = 34, b - a = 2,解 得q = 16, b = 18,因此原数是 162 100 = 156。
