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1、实验 4 用复摆测量刚体的转动惯量一、实验目的1学习掌握对长度和时间的较精确的测量；2掌握重力加速度的方法，并加深对刚体转动理论的理解 3学习用作图法处理、分析数据。二、实验仪器JD-2 物理摆、光电计时器等三、实验原理1.单摆如图4-1 （单摆球的质量为m）当球的半径远小于摆长l时，应用动量矩定理，在角坐标系可得小球自由摆动的微分方程为：丝+畑=0dt 2l 1式中t为时间，g为重力加速度，1为摆长。当0sin 0 Q011则(4-1)式可简化为：14-3)图4-1单摆原理4-3)式的解为：丝+兰dt2(4-4)4-5 )0=0 sin t + a)1 10 110a由初值条件所决定。周期4
2、-6)2物理摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。如图4-2,设物理摆的质心为C,质量为M，悬点为0,绕点在铅直面内转动的转动惯量为,由刚体绕定轴转动的转动定律可得微分方程为J = - Mgh sin 00 dt 2MghW 2 =J0仿单摆，在0 很小时，（4-7）式的解为0 =0 singt + a)T = 2 兀0Mgh(4-10)(4-7)4-8)(4-9)设摆体沿过质心C的转动惯量为J，由平行轴定理可知:J = J + Mh 2 0C将（4-11）代入（4-10）可得：(4-11)4-12)（4-12）式就是物理摆的自由摆动周期T和 就是围绕（4-12）式而展开的。4-13）式
3、右端各参变量之间的关系。实验因为对任何J都有M，因此（4-13） 式的T与M无关，仅与M的分布相关。令 J = Ma2， a 称为回转半径，则有T竺 + h gh g4-13)一次法测重力加速度g由（4-12）式可得出4n 2(J + Mh2) g =cMh4-14)测出（4-14）右端各量即可得g ；摆动周期T,用数字计时器直接测出，M可用天平称出，C点可用杠杆平衡原理等办法求出，对于形状等规则的摆，JC可以计算出。二次法测 g一次法测 g 虽然简明，但有很大的局限性，特别是对于不规则物理摆，Jc就难以确定，为此采用如下“二次法”测g :当M及其分布（C点）确定以后，改变h值，作两次测T的实
4、验，运用 是有4-13)式于/ J + Mh 2T 2 = 4n 2 C 11Mgh1”，J + Mh 2T 2 二 4 兀 2 C2-2Mgh2Mgh T 2 4兀 2 J 4兀 2 Mh 2 二 01 1C1Mgh T 2 4兀 2 J 4兀 2 Mh 2 = 02 2C2联立解(4-15)、(4-16)式，可得出(4-15)(4-16)h2h 2g 二 4兀 2 -12hT2hT 21 1 2 24-17)这样就消去了 J，所以（4-17）测g就有着广乏的适用性。从（4-17）式，更可十分明确地看到T与M的无关性。虽然，任意两组（hi, T1），（ h2，T）实测值，都可以由（4T7）式
5、算出g ；但是,对于一个确定的“物理摆”选取怎样的两组（h , T ）数据，使能得出最精确的g的实测结果呢？为此必须研究T （ h ）关系:将（ 4-12）式平方，于是可得出4-18)从此式可以看出T2与h的关系大体为一变形的双曲线型图线：当h趋于0时T-g, 当h-g, T亦趋于g；可见在h的某一处一定有一个凹形极小值。为此，对4-18）作- 次求导并令其为0；即由dh = 0,可得4-19)-Jc + 1 = 0Mgh 2 gMh2 二 J = Ma2（4-20）C即移动摆轴所增加的转动惯量恰为质心处的转动惯量，即h = a处所相应的T为极小 值（为什么？）。（注意：体会称a为回转半径的含
6、义）将（4-13）式取二次导数为研究T （h）关系特在0.6m长的扁平摆杆上，间隔2cm均匀钻出直径为1cm的28个孔以作为0点的Hi值（i= 1,2,3, 14）于是可得出如图4-3所示的曲线。点；皆为等T值点，错落的两对等T值间的距离（h+h ） = h + h被称为等值单摆长。为D E C F理解这一点，将（4-17）式的T与T （或T ）对应，T与T （或T ）对应，h为与T对应1 E D 2 F C 1 1的 h ，h 为与 T 对应的 h ，并将（4-17）式改形为： E 2 2 F4兀 2T 2 + T 2 T 2 T 24-22)二一12 + 12g2(h + h )2(h h
7、 )1 2 1 2（4-22）与（4-17）的等同性同学们在课后去用代数关系式验证。从（4-22）可知，当T =T （=T）时，即化为单摆形式的公式（4-6）,故称（h+h ）、（h+h ）为等值单摆长。 12 E FCD从（4-20）式可知：OB = OA = a ；而 a 2 = h + hXE 1从图4-3可知，A，B二共轭点为T（h）的极小值点，若在它附近取二个h值来计算g 则将引起较大的误差。所以欲取得精确的g的测量值，就只能取最大的F点和相应的E点 来计算g值。因孔的非连续性，E只能取T近乎于T的点代入（4-22）式。还可取略大、EF略小的两组值都计算出再取平均。A或B在实验上虽然
8、不利于测量出较精确的g，但运行在T （或T）值下的摆，其性BA能最稳定。可倒摆为提高测g的精度，历史上在对称结构的物理摆的摆杆上，加两个形体相同而密度不 同的两个摆锤对称地放置。于是质心C点随即被改变，图4-3的图线也随之改变，特别是 T （即T ），T （即T ）所相应的h （即h ），h （即h ）也随之改变。但曲线的形状依归。C1F2C1F2所以，用此时的T （=T =T ）和h （=h ），h （=h ）按（4-22）式来计算出g。F C1C2F当然，由于摆杆孔的非连续性，所以仅能用TT的实测值，这时（4-22）式的右端CF的第2项仅具很小的值。所以（T -T ）很小，而（h -h ）
9、较大。1 2 1 2所以实验须先在重铁锤的摆杆的下端测出T1后，将摆倒置过来，从远端测出大于T1 的值然后逐渐减h2直至T2小于T1为止。11将加有二摆锤的摆叫作可倒摆（或称为开特氏摆）；（4-22）式就称为可倒摆计算式。 摆锤用两个而不是用一个，而且形体作成相同，是因为倒置以后在摆动过程中，摆的 空气阻尼等对摆的运动的影响可消除。由物理摆的理论可知，可倒摆（开特摆）仅是物理摆的特例。锤移效应a.加锤摆的摆动周期Tm设原摆为一带刻度的摆杆。摆的质量为M,质心为C （设为坐标原点），摆心为0, CO距离为h,质心C处与摆心0处沿0Z轴的转动惯量为J、J。以上条件皆固定不变。然CO后再加一个圆柱形
10、的摆锤，锤的回转半径为r,质量为m；正轴与 上述各轴平行。锤移动沿CO方向为+X。置锤于X处，如图4-4 所示。摆的总质量为M二M + m(4-23)质心变为C,由一次矩平衡原理可得出CC二 m - X /(M + m)(4-24)所以新的摆长h = h CC h - m - X /(M + m)(4-25)由平行轴定理，可得J = Ma2 + Mh2 + mr2 + m(h X)2设重力加速度g已知(不变)，则带锤的摆动方程式仿(4-7)、(4-10)式为：(动量 矩定理)J0 二-(M + m) - g - h m - X /(M + m) - sin0(4-27)0i. 加锤摆的周期公式
11、T为: m4-28)Ma 2 + Mh 2 + m r2 + m(h - x)2 T = 2兀 1(M + m) - g - (h -mx)M + m在研究锤移效应时，令(固定不变)：m(4-29)所以有k = (M + m) - g-C + m(h - x)2m 、 x)M + m(4-30)4-31)C = Ma 2 + mh 2 + mr 2此式的特点：它与无锤摆的形式相似，即原T (h)关系与现在T (X)关系相似，(此时h为固定 m常数)由于X的取向等原因，所以T (X)相当于图4-3曲线的左叶，T (X)的渐近线为mm7 m “ M + m 7 th X = 0，即 X = +h
12、时，T 8M + mmm而X的负向则为，Xf8, T +8mM+m注：X h，则T为复数(无意义)mm它也存在着极(小)值dT ( X )所以应由菸 =0(4-32)dTm _ dTm df dX df dXc + m(h X )2令 f _m -k (h X)m+ X所以有c + m (h X )2)-1 mX )M + mddXc + m(h X )2k(h m 令 U _ C + m(h X)2,V _ h X ,M+mudv dud ()u v代入匚_ dX可得dXv 2(hmX )2m(h X) x (1) C + m(h X) x ()M+m4-33)(h(h X)2X) (2mh
13、 2mX) (1) +(c + mh2 2mhX + mX2) _ 0 M+mX 2 2mhX + 2mh 2M + mm(c + mh2)M + m =2mh + ；(2mh)2 4 x 丄二 x 2mh2 - m(c + 世2)M + mM + mm2M + m分子，分母都除以2m (根号内除以4im0得h土h2-丄x2mh2 _ m(C + 皿)X _ X M + mM + mmM + m(M + m)h 土(M + m)2 h 2 2mh 2 (M + m) m(c + mh 2)m(M + m)h 土 Mh2 + 2Mmh2 + m2 h 2 2mh2M 2m2 h2 mc + m2 h 2m(M + m)h mc + M 2 h 2=(4-34)m所以X 一定有解，T有极值T (X)如前所述，T (X)函数与T (h)函数的性状是一样的，所以此极值也一定是极小；(以 求亜来判定，略去)dx2ii零质量摆锤的周期(公式
