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1、三角形“四心”向量形式的充要条件及应用(修改稿)平面向量的学习中，通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：一、范例回顾ACBCCP(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（ B ）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2 H是ABC所在平面内任一点，点H是ABC的垂心.由,同理，.故H是ABC的垂心. （反之亦然（证略）(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例3. G是ABC所在平面内
2、一点，=0点G是ABC的重心.证明 作图如右，图中连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=0，得=0，故G是ABC的重心.（反之亦然（证略）例4P是ABC所在平面内任一点.G是ABC的重心.证明 G是ABC的重心=0=0，即由此可得.（反之亦然（证略）(五) 将平面向量与三角形四心结合考查例5已知向量，满足条件+=0，|=|=|=1，求证 P1P2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五B组第6题）证明 由已知+=-，两边平方得=， 同理 =， |=|=|=，从而P1P2P3是正三角形.反之，若点O是正三角形P1P2P3
3、的中心，则显然有+=0且|=|=|.即O是ABC所在平面内一点，+=0且|=|=|点O是正P1P2P3的中心.例6在ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF由题设可设,即，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2【注】：本例借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，
4、很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。例7若O、H分别是ABC的外心和垂心.求证 .证明 若ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.，.又垂心为H，AHCD，CHAD，四边形AHCD为平行四边形，故.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例8设O、G、H分别是锐角ABC的外心、重心
5、、垂心. 求证 证明 按重心定理 G是ABC的重心 按垂心定理 由此可得 .二、知识点总结1）O是的重心 若O是的重心，则为的重心.2）O是的垂心 ；若O是(非直角三角形)的垂心，则；故 3）O是的外心 (或)若O是的外心则故 4）O 是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成 O是内心的充要条件也可以是若O是的内心，则故的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；补充练习1已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足= (+2),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）A.AB边中线的中点 B.AB
6、边中线的三等分点（非重心）C.重心 D.AB边的中点2 B取AB边的中点M，则，由= (+2)可得3，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.3在同一个平面上有及一点满足关系式： ，则为的 （D） 外心 内心 C 重心 D 垂心4已知ABC的三个顶点及平面内一点P满足，则P为 ABC（C） 外心 内心 C 重心 D 垂心5已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过ABC的 （C） 外心 内心 C 重心 D 垂心6已知ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：，则P点为三角形的 （D ） 外心 内心 C 重心
7、D 垂心7已知ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的 （B） 外心 内心 C 重心 D 垂心8在ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过ABC的（ B ） 外心 内心 C 重心 D 垂心9.已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为(D )A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形10.的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 111.点O是所在平面内的一点，满足，则点O是的（B）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点ABCMNG图1ABCMNG图112. 如图1，已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，则。 证 点G是的重心，知O，得O，有。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上）， 于是存在，使得， 有=，得，于是得。3
