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1、高中数学第二章基本初等函数（）第1节指数函数（6）教案新人教A版必修1第一节指数函数第六课时导入新课思路1.我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数y3x，y3x1，y3x1的图象之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图象，那么，对yax与yaxm(a0，mR)有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容教师点出课题：指数函数及其性质的应用(2)思路2.我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数
2、函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本节课要解决的问题指数函数及其性质的应用(2)推进新课(1)指数函数有哪些性质？(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？(3)对复合函数，如何证明函数的单调性？(4)如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容讨论结果：(1)指数函数的图象和性质一般地，指数函数yax在底数a1及0a1这两种情
3、况下的图象和性质如下表所示：a10a0时，y1；x0时，0y0时，0y1；x1(5)在R上是增函数(5)在R上是减函数(2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是：取值即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1x2.作差变形即求f(x2)f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形定号根据给定的区间和x2x1的符号确定f(x2)f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论判断根据单调性定义作出结论(3)对于复合函数yf(g(x)可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数yf(g(x)是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同
4、时，复合函数yf(g(x)是减函数；又简称为口诀“同增异减”(4)判断函数的奇偶性：一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考查式子f(x)与f(x)的关系，最后确定函数的奇偶性；二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性例1在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y2x的图象的关系(1)y2x1与y2x2；(2)y2x1与y2x2.活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图象的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点，或用计算机作图解：(1)列出函数数据表作出图象
5、如图6.x32101232x0.1250.250.512482x10.250.51248162x20.512481632图6比较可知函数y2x1、y2x2与y2x的图象的关系为：将指数函数y2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y2x1的图象；将指数函数y2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y2x2的图象(2)列出函数数据表作出图象如图7.x32101232x0.1250.250.512482x10.062 50.1250.250.51242x20.031 250.062 50.1250.250.512图7比较可知函数y2x1、y2x2与y2x的图象的关系为：将指数函数y2x
6、的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y2x1的图象；将指数函数y2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y2x2的图象点评：类似地，我们得到yax与yaxm(a0，a1，mR)之间的关系：yaxm(a0，mR)的图象可以由yax的图象变化而来当m0时，yax的图象向左移动m个单位得到yaxm的图象；当m0时，yax的图象向右移动|m|个单位得到yaxm的图象上述规律也简称为“左加右减”变式训练为了得到函数y2x31的图象，只需把函数y2x的图象()A向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长
7、度D向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度答案：A点评：对于有些复合函数的图象，常用变换方法作出.例2 已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围活动：学生审题，考虑解题思路求值一般是构建方程，求取值范围一般要转化为不等式，如果有困难，教师可以提示，(1)从条件出发，充分利用奇函数的性质，由于定义域为R，所以f(0)0，f(1)f(1)，(2)在(1)的基础上求出f(x)，转化为关于k的不等式，利用恒成立问题再转化(1)解：因为f(x)是奇函数，所以f(0)0，即0b1.所以f(x)；又由f(1
8、)f(1)知a2.(2)解法一：由(1)知f(x)，易知f(x)在(，)上为减函数又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t)k2t2，即对一切tR有3t22tk0，从而判别式412k0，k.解法二：由(1)知f(x).又由题设条件得0，即(22t2k12)(12t22t)(2t22t12)(122t2k)1，因底数21，故3t22tk0，上式对一切tR均成立，从而判别式412k0，即k.点评：记住下列函数的增减性，对解题是十分有用的，若f(x)为增(减)函数，则为减(增)函数求函数y()|12x|x2|的单调区间活动：教师提示，因为指数含有两个绝对值，
9、要去绝对值，要分段讨论，同时注意底数的大小，分析出指数的单调区间，再确定函数的单调区间，利用复合函数的单调性学生思考讨论，然后解答解：由题意可知2与是区间的分界点当x时，因为y()12xx2()13x23x18x，所以此时函数为增函数当x2时，因为y()12xx2()3x23x()x，所以此时函数为减函数当x2时，因为y()12xx2()3x1213x2()x，所以此时函数为减函数当x1，2)，x22，)时，因为2()x2()x1223x2232x1213x223x1，又因为13x2(3x1)43x2x14x13x20，所以13x23x1，即2()x2()x1.所以此时函数为减函数综上所述，函
10、数f(x)在(，上单调递增，在，)上单调递减设m1，f(x)，若0a1，试求：(1)f(a)f(1a)的值；(2)f()f()f()f()的值活动：学生思考，观察，教师提示学生注意式子的特点，做这种题目，一定要有预见性，即第(2)问要用到第(1)问的结果，联系函数的知识解决解：(1)f(a)f(1a)1.(2)f()f()f()f()f()f()f()f()f()f()5001500.点评：第(2)问是第(1)问的继续，第(1)问是第(2)问的基础，两个问题是衔接的，利用前一个问题解决后一个问题是我们经常遇到的情形，要注意问题与问题之间的联系本节课复习了指数函数的性质，借助指数函数的性质的运用
11、，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图象的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中升华提高课本习题2.1B组2.指数函数作为一类基本的初等函数，它虽然不具有函数通性中的奇偶性，但是它与其他函数复合构成具有比较复杂的单调性的函数，同时也可以复合出比较特殊的奇函数和偶函数，判断复合函数的单调性和奇偶性要十分小心，严格按规定的要求，有时借助数形结合可帮我们找到解题思路，本堂课是在以前基础上的提高与深化，同时又兼顾了高考常考的内容，因此涉及面广，容量大，要集中精力，加快速度，高质量完成教学任务富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言富兰克林利用放风筝而感受到
12、电击，从而发明了避雷针这位美国著名的科学家死后留下了一份有趣的遗嘱：“一千英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英镑，那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这些钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息这些钱过了100年增加到131 000英镑我希望那时候用100 000英镑来建立一所公共建筑物，剩下的31 000英镑拿去继续生息100年在第二个100年末了，这笔钱增加到4 061 000英镑，其中1 061 000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的3 000 000英镑让马萨诸塞州的公众来管理过此之后，我可不敢主张了！”你可曾想过：区区的1 000英镑遗产，竟立下几百万
13、英镑财产分配的遗嘱，是“信口开河”，还是“言而有据”呢？事实上，只要借助于复利公式，同学们完全可以通过计算而作出自己的判断ynm(1a)n就是复利公式，其中m为本金，a为年利率，yn为n年后本金与利息的总和在第一个100年末富兰克林的财产应增加到：y1001 000(15%)100131 501(英镑)，比遗嘱中写的还多出约501英镑在第二个100年末，遗产就更多了：y10031 501(15%)1004 142 421(英镑)可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的遗嘱故事启示我们：在指数效应下，微薄的财产，低廉的利率，可以变得令人瞠目结舌威名显赫的拿破仑，由于陷进了指数效应的漩涡而使法国政府十分难堪！179
