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1、计算题 1、在整数环Z中，令I = 5k|kZ （1）确定商环Z/I中的元素。（2）Z/I是不是一个整环？求Z/I的特征。2、确定3次对称群S3的所有子群及所有正规子群。3、求模6的剩余类环Z6的所有理想。4、在10次对称群S10中， =.（1）将表成一些不相交轮换之积。（2）求| |。5、设G = 2m7n|m，nQ 是关于普通数的乘法构成的群，f：2m7n |7n是G到G的一个同态映射，求f 的同态核Kerf 。6、设（Z16，）是模16的剩余类环，求Z16的所有理想，求Z16的所有非零理想的交。 7、在7次对称群S7中,将(12)(2347)-1(12)-1表为一些互不相交的轮换之积。8
2、、在高斯整数环Zi=a + bi|a, bZ,i2=-1中,(1)求主理想(1+i)，(2)求。9、给出整数加群Z的所有自同构。10、设R=Z4是模4的剩余类环,确定Z4的所有理想。11、设R=Zi=a + bi|a, bZ,i2=-1是高斯整数环,试求Zi的所有单位。12、设G= 2m3n | m, nQ是关于通常数的乘法作成的群,令 f:2m3n 2m (1)验证f是G到G的同态映射， (2)确定Kerf 。13、找出三次对称群的所有子群；找出关于子群H=(1),(12)的右陪集分解。14、在整数环Z中，试求出所有包含30的极大理想。15、求出模6的剩余类加群Z的所有自同构。16、（10分
3、）求模12的剩余类加群（Z12，）的所有自同构映射17、设Z是高斯整数环，求Z的商域。18、求数环Z=a+b,bZ的全部自同构映射。19、求高斯整数环Zi=a+bi,bZ,i=1的主理想(1-i) 以及剩余类环20、设Z是模8的剩余类环,在Z中求x的根.21、在3次对称群S中,令H=(1),(12),试确定H在S中的左陪集分解式。22、确定高斯整数环Zi的全部自同构映射.23、试写出模12的剩余类加群G（Z，）的所有子群及G的所有生成元。24、设Z是整数环，求（4，6）？25、找出模8的剩余类环的一切非零理想，并求它们的交。26、 设G=25,n是关于普通的数的乘法作成的群, f:255是G
4、到G的一个同态映射,求f的核kerf 。27、设(Z12,+,)是模12的剩余类环,求Z12的一切理想,以及一切非零理想的交。28、试写出三次对称群的所有不变子群。29、已知I6k|kZ是偶数环R的理想，求商环的所有元素。30、求数环的所有单位。31、确定模10的剩余类加群的所有子群。32、设G是一个阶为15的交换群。（1） 证明G是循环群。（2） 求出G的所有子群。33、若S3是3次对称群，（1） 求C（S3）。（2） 当n 3时，C（Sn）呢 ?34、在3次对称群S3中，H=（1），（23）。（1）试给出H在S3中的左陪集分解式（2）H是不是S3的正规子群？35、设G是一个21阶交换群，H
5、=x|x (1) 证明：。（2）确定出H。36、设Z是整数加群，求Z的自同构群Aut(Z)。37、设Z是模6的剩余类加群，求Aut(Z6)。38、 在整数加群Z中，S=2004,23,32，求。39、设G=是一个20阶循环群，试求G的所有生成元。40、确定3次对称群S3的所有正规子群。41、设NG，|=12,中求。42、在5次对称群S5中，设置换=（12345）（1） 求置换，使。（2）求置换，使。43、在S9中，=（1965）（1487）（1923），将表成一些不相交轮换之积，且求。44、在S8中，H=, =（1487）（1865）（134），试求G：H。45、求Z到Zm的所有同态映射。46
6、、求Zm到Z的所有同态映射。47、求Z4到Z6的所有同态映射。48、设HG，NG，。（1）证明：f是群到的一个同态映射。（2）计算Kerf。49、设G=3m5n|m,n，G对通常数的乘法构成群。令。50、设G与H是两个群，|G|=100，|H|=21，f是G到H 的同态映射，求 f。51、求模12的剩余类环Z12的全部子环。52、求模8的剩余类环Z8的全部理想。53、若（1） 求Zi的所有单位。（2）是不是域？54、求模24的剩余类环Z24的所有单位。55、设。（1） 证明R是有理数域Q的子环。（2）求R的所有单位。56、求环M2（Z2）中的所有可逆元。57、求环M2（Z4）中的所有可逆元。5
7、8、试求模18的剩余类环Z18的可逆元与零因子。59、设Zi为高斯整数环，I=（1+2i）,试写出I的元素的明显表达式，并求商环。60、试确定Z12的所有商环。61、设，R对通常矩阵的加法与乘法构成环。令（1） 证明I是R的一个理想。（2） 求I的所有理想。62、求出整数环Z的一切自同态，并求出它们的每一个同态核。63、设是环，I=（9）（1）求 ， （2）是不是一个域？64、在整环中，（1）求 () （2）（）是不是Z的一个极大理想？65、设是高斯整数环，试确定商环的元素。66、在3次对称群S3中，g=(23),是由g诱导的S3的内自同构，求。67、设R是整环，I是R的理想，举例说明不一定是
8、整环，给出是整环的充要条件。68、举例说明含2个元素的环不一定是域，给出一个2元素环为域的一个充要条件。69、求模3的剩余类加群Z3的自同构群。70. 设 . 当 满足什么条件时, 关于剩余类的乘法构成群?71. 求剩余类加群 中每个元素的阶。72.找出 的所有子群.73. 找出 的所有生成元.74. 找出群 的全部自同构映射, 即求出全部的: , 使得75. 设计算乘积 , , , .76. 设(1) 试确定 和 的奇偶性;(2) 分别将 和 与表示为不相交轮换之积;(3) 计算 , 并将之表为不相交轮换之积.77. 设 (1 3 5 2)(1 4 7 6), (2 5 6 4)(3 7).
9、(1) 分别确定 和 的奇偶性;(2) 将 和 改写为一般置换的形式.78.写出 与 的所有置换.79. 在 中找出所有不与(1 2 3)可交换的元素.80. 在 中, 找出所有与 (1 2 3 4)可交换的元素.81. 设按顺序排列的13张红心纸牌A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K经2次同样方式的洗牌后牌的顺序变为6 10 A Q 9 K J 7 4 8 3 2 5试求出第一次洗牌后牌的顺序.83. 设 , , 求 .84. 设 , , 求 (这里 和 分别表示全体非零复数及全体非零实数的集合).85. 设 是一切非零实数关于数的乘法所构成的乘法群. 对下列映射 , 哪些是
10、 到 的同态映射? 对于同态映射 , 找出 以及 .(1) ; (2) ; (3) ; (4) .86. 试决定三次对称群 的所有同态象. (同构的同态象看作同一个同态象.)87. 设 . 是由六个置换(1), (1 2 3)(4 5 6), (1 3 2 )(4 6 5)(7 8), (1 2 3)(4 5 6)(7 8), (1 3 2 )(4 6 5)(7 8)所组成的群.（1） 写出 的各元素的稳定子和轨道；（2） 写出 的各元素的不动元素.88. 计算一个正八面体的旋转对称群的元素的个数.89. 用红、黄两种颜色的同样大小的正方形塑料板各8块可铺成多少种不同的大正方形塑料板？ 假定小
11、正方形塑料板两面颜色相同.90.试求 中的所有零因子与可逆元, 并求每个可逆元的逆元素.91. 求线性方程, 在环 上的解.92. 求线性方程, 在环上的解.93. 求线性方程, 在环 上的解.94. 求线性方程, 在环上的解.95. 分别求线性方程组在 , , , 中的解.96. 求二次方程在环上的解.97. 求二次方程在环上的解.98. 求二次方程在环上的解. 99.求二次方程在环上的解.100. 计算多项式, ,在环上的乘积.101. 计算多项式, , 在环上的乘积.102. 计算多项式, , 在环上的乘积.103. 计算多项式, , 在环上的乘积.104. 在四元数体中, 设(1) ,
12、 .(2) , .求 , , , , .105.设集合(1) 求 的所有理想.(2) 求 的极大理想与素理想.106. 试求 的所有理想与极大理想.107. 设 , 都是整数环的理想, 试求(1) .(2) .(3) .108. 理想 (15,24) 是怎样的主理想?109. 在 中, , 求 的元素个数.110. 3. 下列映射哪些是环同态(1) : , ;(2) : , ;(3) : , ;(4) , : , .111. 对 , 求 , 使得 .(1) , .(2) , .112. 对多项式 , , 求 , 使得(1) , , .(2) , , .(3) , , .113. 对 , 求 ,
13、 并求 , 使得 .(1) , .(2) , .114. 判别集合在 上是否线性相关?115. 构造模2的高斯整数环 的乘法表. 这个环是域吗?116. 设 是4阶有限域, . 确定下列系数在 上的多项式在域 中是否可约.(1) (2) 117. 设 是九个元素的域. 求 中的矩阵的逆矩阵 .118. 构造含个元素的有限域，并写出它的加法和乘法运算表。119. 给出下列四个四元置换组成的群，试写出的乘法表，并且求出的单位元及和的所有子群。120. 设是模6的剩余类环，且。如果、，计算、和以及它们的次数。121.设M是一个非空集合，2M是M的幂集（M的子集的全体称为M的幂集），问2M关于集合的并
14、是否构成群？为什么？122.找出模20的剩余类加群Z20的所有子群，并找出Z20的全部生成元.123.设关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I =证明：I是R的理想，问商环R/I由哪些元素组成？124. 假定是模8的剩余类环，在里计算并求出它们的次数，其中。125对，求，和。126. 设，是整数环的理想，试求下列各理想，并简述理由。1；2；3127. 设有置换，。1求和；2确定置换和的奇偶性。128. 求剩余类加群Z12中每个元素的阶。129. 设A，B，C是G的子群,下面命题中哪些是正确的？给出证明或举出反例。130. 写出元素形式，并找出所有子域。131. 设G是6阶循环群，找出G的全部生成元，并找出G的所有子群.132. 求剩余类环Z6的所有子环，这些子环是不是Z6的理想？133. 设Z是整数环，则(2)(3)、(2,3)是Z的怎样一个理想？(2)(3)是Z的理想吗？为什么？13
