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1、19.2平行四边形第四课时：三角形中位线定理 高王学校 史寿青 一、教学目标（1）理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理的证明和有关应用。（2）经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步发展学生的推理论证能力，并体会证明过程中运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。（3）能应用三角形中位线定理解决相关的问题。二、重点与难点重点：三角形中位线的概念与三角形中位线定理的证明。难点：三角形中位线定理的证明和运用。三、教学方法采用启发引导发现，探究式的教学方法。四、 教具与学具的准备教具：多媒体、三角形纸片学具：三角形纸片五、教学过程（一） 设置问题情境，导入新课问题：三角形中除了组成三角形的三
2、条边之外，我们还学过哪些与之相关的重要线段？它们有哪些特殊的性质？师生结合图形共同回忆三角形的三条重要相关线段：三角形的角平分线、中线、高及其性质。（二）引导探究，获得新知（概念的学习）1.动手实践探索 （让学生拿出自己预先准备好的三角形纸板）：除了三角形角的平分线、中线和高，你认为还有哪些与三角形相关的重要的特殊线段？给学生时间让他们自己尝试画一画。学生先独立思考，再进行小组讨论，最后进行成果展示。典型的有以下几种：找到了把三角形面积三等分线、连接三角形两高垂足的线段、连接三角形两边中点的线段等，由此教师揭示出本节课的学习课题及中位线的概念：今天我们就一起来研究连接三角形两边中点的线段三角形
3、的中位线，这是大家自己通过思考和讨论新发现的一条与三角形相关的重要特殊线段。设计意图：这里以学生已经学过的与三角形相关的重要线段为知识生长点，从学生的已有知识经验出发，让学生学会自己提出新的研究对象，也实现了知识间的自然过渡，更有利于学生动手能力的培养和数学逻辑思维的训练。CBAFED2. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线。定义中包含两层含义： 如果D、E分别为AB、AC的中点，那么DE为ABC的中位线； 如果DE为ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的中点。思考：一个三角形有几条中位线？请将它们全部画出来。比较三角形的中位线与三角形的中线异同点？设计意
4、图：这里通过变式与反例促进概念的深化理解。学生通过尝试画出了三角形的所有中位线，既在动手操作中巩固并且应用了概念，又自己发现了三角形中位线的各种变式图形。比较三角形的中位线与中线的异同，深化了学生对概念内涵的理解。3.如何研究三角形的中位线教师提出问题：如何研究一个几何对象，我们一般都按照什么思路去研究？对于我们新获得的几何对象：三角形的中位线，下面将要研究什么？教师通过举例并引导学生回忆以前研究几何对象的一般思路，设想研究三角形中位线的路径，最终锁定要研究三角形中位线的性质。设计意图：这里向学生渗透出研究一个几何对象的一般路径：概念性质应用，让学生学会自己独立规划出研究路径、自己发现并且提出
5、研究的问题。（三） 亲身经历，定理探索（三角形中位线的性质）（1）研究三角形中位线的性质，我们可以先从一些特殊的三角形入手，请同学们试着先画出一些特殊三角形及其中位线，观察有何发现？再研究一般的情况，尝试画出一个一般的三角形及其中位线，猜想你的发现在一般三角形中成立吗？学生先小组合作，从特殊（等边）到一般研究三角形中位线的性质，再相互交流展示，引导学生猜想得到结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。猜想只有经过严格证明才能成为定理，那么该如何证明我们的猜想呢？接下来师生共同画图，通过分析已知和求证，教师引导学生寻求证明的方法和思路。已知：在ABC 中，DE是ABC的中位线，求证
6、： DE BC，且DE=BCB CADE F证法：延长DE至F，使EFDE，连接CFAECE，AEDCEF，ADECFEADCF，ADEFBDCFADBDBDCF四边形BCFD是平行四边形DFBC，DFBCDEBC，DEBC（2）总结三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。符号语言： DE是ABC的中位线 DEBC，DE=BC设计意图：让学生经历了三角形中位线性质探究的全过程：先归纳推理，从特殊到一般猜想出结论，再通过演绎推理，运用转化思想证明结论，从而向学生渗透了科学探究的一般方法。学习三角形中位线定理的作用，除了定理中所具备的可以作为计算或证明其它问题的工具，还有定
7、理本身证明过程中运用的截长补短法渗透了数学转化的思想。（四）追踪练习，强化新知1.如图1：在ABC中，DE是中位线（1）若ADE=60，则B= 度（2）若BC=8cm，则DE= cm（3）若DE=5cm 则BC= cm2.如图2：在ABC中，D、E、F分别是各边中点， AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm， 则DEF的周长= （四） 例题讲解，学以致用已知:如图,在平行四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.证明:连接AC.E,F,G,H分别为各边的中点,EFAC，;HGAC, EFHG, EF=HG.四边形EFGH是平行四边形.变式：若平行
8、四边形ABCD变成任意的四边形，其它条件不变，则四边形EFGH的形状会变化吗？为什么？ 设计意图：培养学生灵活运用三角形中位线定理进行证明解题的能力（五）小结归纳1、学生回忆本节课你学到了哪些知识？2、本节课运用了哪些数学思想方法？（六）课后作业：1、必做题：完成课后练习p82,第2、3题。2、思维开拓题：在三角形中位线定理的证明中我们运用了补短法体现了数学转化的思想，请同学们课后分4小组讨论有没有证明三角形中位线定理的其他方法？下节课小组派代表进行成果展示。3、动手操作题:怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?(七)板书设计(八)教学反思本节课将“三角形的相关
9、线段（角的平分线、中线、高线）”作为三角形中位线的知识生长点，引导学生继续“发现”三角形中的相关线段，进而提出新的研究对象。从学生的已有认知经验生发，顺应学生知识发生、发展的逻辑顺序，是得出新的研究对象的关键。本节课在引出三角形中位线后，师生共同回忆过去已有知识经验，以已经研究过的几何对象为先行组织者，引导学生规划出三角形中位线的研究路径：概念-性质-应用，增强学生数学研究的路径规划意识，从而提高教学效果。先行组织者的使用是规划研究路径的关键，本节课在探究三角形中位线的性质时，先引导学生从特殊三角形（等边三角形）入手探究三角形中位线所具有的性质，从而猜想得出一般结论，再严格证明猜想在一般情况下也成立，从而得到三角形中位线的性质定理，让学生经历了一个科学的探究过程。从特殊到一般猜想结论是归纳推理，严格证明猜想成立是演绎推理，推理是科学探究的基本方法两种推理不能偏废，因为归纳推理是发现结论，演绎推理是证明结论，它们是科学发现的双翼。在实际教学中要给学生逐渐渗透演绎推理的科学探究方法。
