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1、饶平二中2007届高三理科数学第一轮总复习（集合与函数之四）(四)函数的值域与最值（一） 知识归纳1 函数，其中集合A是函数的定义域。与的值对应的y的值称函数值，函数值的集合称函数的值域.2最大值定义：设函数的定义域为,如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得。称是函数的最大值。你能说出最小值定义吗？3一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。且值域为。4.请你说出常见函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、正、余弦函数、正、余切函数的值域。（二） 学习要点求函数的值域没有通性解法，只能依据函数解析式的结构特征来确定相应的
2、解法，下面给出常见方法。1. 分析观察法有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。2. 反函数法、分离常数法对于形如的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数（仅求的表达式）的定义域从而得到原函数的值域。3. 换元法 （1）代数换元对形如的函数常设来求值域；（2）三角换元法对形如的函数常用“三角换元”，如令来求值域。注意:(1)新元的取值范围，(2)三角换元法中，角的取值范围要尽量小。4. 配方法二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。5.判别式法 对形如的函数常转化成关于x的二次方
3、程，由于方程有实根，即从而求得y的范围，即值域。注意：定义域为R，要对方程的二次项系数进行讨论。6. 利用函数的有界性 对形如，由于正余弦函数都是有界函数，值域为-1，1，利用这个性质可求得其值域。7. 基本不等式法对形如（或可转化为），可利用求得最值。注意“一正、二定、三等” 8利用函数单调性求值域 对形如（或可转化为），考虑函数在某个区间上的单调性，结合函数的定义域，可求得值域。9数形结合法若函数的解析式的几何意义比较明显，如距离、斜率等，可用数形结合法。10导数法（三） 例题讲评例1求下列函数的值域（1）（2）（3）（4） 例2已知，求的最值。例3求下列函数的值域（1）（2）（3）例4.
4、如何求函数的最值？呢？例5求下列函数的值域（1）（2）（3）（4） （四）练习题一、 选择题题号12345678910111213答案1. 已知函数=，则（）的值是A.9 B. C. -9 D. -2. 若集合,，则等于A0 B CS DT3. 下列函数中值域是（0，+）的函数是A. B. C. D. 4. 定义在R上的函数的值域为，b,则的值域为A.,b B.+1,b+1 C.1,b1 D.无法确定5. 函数y =的定义域是(-，1)2,5，则其值域是 A.(-,0),2 B.(-,2) C.(-,)2,+ D.(0,+)6. 函数的值域为R，则实数k的取值范围是AB或 CD或7. 已知函数
5、的最小值是A2 B CD8. 函数A.最小值为0，最大值为4 B.最小值为-4，最大值为0C.最小值为-4，最大值为4 D.没有最大值，也没有最小值9. 已知的最大值为2，的最大值为，则的取值范围是A B C D以上三种均有可能10.已知、b的等差中项是的最小值是 A3B4C5D611. 已知,则(=A15 B1 C3 D3012. 设函数，则的值为A.B. b C.、b中较小的数 D.、b中较大的数13函数的最小值为A190 B171 C90 D45二、填空题：14. 定义在R上的函数满足关系式:,则 的值等于_15. 已知函数对一切实数,均满足，且则 16. 设（0）的值域为-1，4，则,
6、b的值为_17 函数 的最大值是 18已知a,b为常数，若则 三、解答题：19. 求下列函数的值域（1）； （2）； （3）20 已知函数的值域为1，3，求实数b、c的值。21设函数，（1）若定义域为0，3，求的值域；（2）若定义域为时，的值域为，求的值.22. 已知函数： （1）证明：对定义域内的所有都成立. （2）当的定义域为 时，求证：的值域为； *（3）设函数, 求的最小值 .（四）函数的值域与最值参考答案（三）例题讲评例1例2，最大值18；最小值例3；例4，当且仅当时取等号；即时，y的最小值是2。没有最大值。另外方法同上，即时，y的最大值是。没有最小值。说明：本题不能用判别式法。因为
7、。若用判别式法得，当时，求得，不合。例5；（以上各小题考虑了各种方法的顺序，有的方法给出2个小题，有的题目可以多种方法导数法暂不考虑。）（四）练习题一、 选择题题号12345678910111213答案BCBAABDCCCACC9.提示：令，实际是将原函数图象的点的横坐标缩短变为原来的二分之一，纵坐标不变。故最值不变。10. 提示：由，二、填空题14.7； 15.4012； 16. =4, b=3； 17. 4； 18.2。15.提示：用赋值法或令 三、解答题19 解析先确定函数的定义域，正确选择方法，并作出相应的数式变换.（1）函数的定义域为，令，即或，函数的值域为；（注）这里运用了不等式性
8、质：；解法二原函数等价于，当时，得4=0，矛盾，解得函数的值域为.（2）函数的定义域为.作换元，令，上为增函数，函数的值域为；解法二令，原函数，在定义域内都是减函数，原函数在定义域是减函数，而当时，函数的值域为.（3）函数的定义域为，由二次函数性质知函数的值域为0，1；解法二令， ，即函数的值域为0，120由y= 得 (2y)x2+bx+cy=0,(*)当y20,由xR,有=b24(2y)(cy)0即4y24(2+c)y+8cb20，由已知得2+c=1+3且=13b=2,c=2又b0,b=2,c=2, 而y2=0,b=2,c=2代入（*）式得x=0b=2,c=2为所求21解：，对称轴为， （1），的值域为，即； （2）对称轴，区间的中点为，当时，不合）；当时，不合）；综上，.22.（1）证明：结论成立 （2）证明：当 即 （3）解： 当如果 即时，则函数在上单调递增 ，如果而当时，在处无定义，故最小值不存在当 如果如果当综合得：当时 g（x）最小值是当时 g（x）最小值是当时 g（x）最小值为当时 g（x）最小值不存第 9 页 共 13 页
