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1、1.1.2 基本不等式一、教学目标1了解两个正数的算术平均数与几何平均数2理解定理1和定理2(基本不等式)3掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题二、课时安排1课时三、教学重点理解定理1和定理2(基本不等式)四、教学难点掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题五、教学过程 1,两个正数a与b的等差中项为，正的等比中项为_2由不等式性质可知，对任意a，bR，(ab)2 _0，因此a2b2 _2ab.什么时候重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2b2 _2ab，当且仅当_时，等号成立 学习新知 重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2b2 _2ab，当且仅当_时，等号成立1.基
2、本不等式 形式：abab2 成立的前提条件： a0，b0 等号成立的条件：当且仅当_时取等号；对任意两个正实数a、b，ab2叫做a，b的_，ab叫做a，b的_ 思考感悟基本不等式中的a，b可以是任意为正值的代数式吗？提示：可以 2 应用基本不等式求最值 如果x，y都是正数，那么(1)若积xy是定值P，那么当_时，和xy有最_值(2)若和xy是定值S，那么当_时，积xy有最_值 思考感悟 两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？提示：不一定应用基本不等式求最值时还要求等号能取到如： x1/x，x2，) 应用一： 利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式时，要充分利用基本不等式及其变
3、形，同时注意利用基本不等式成立的条件对要证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明例题分析 例1 已知a，b，c 为不全相等的正实数求证a2b2c2abbcca.【思路】构造基本不等式的条件运用基本不等式证明判断等号成立的条件得到结论 【证明】a0，b0，c0，a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca.又a，b，c为不全等的正实数，故等号不成立a2b2c2abbcca.互动探究本例条件不变，求证abcabbcca.证明：a0，b0，c0，ab2 ab0，bc2 bc0，ca2ca2(abc)2
4、(abbcca)，即abcabbcca.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立abcabbcca. 应用二 利用基本不等式求函数的最值，要满足：(1)函数式中各项必须都是正数；(2)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数(定值)；(3)等号成立条件必须存在例2 (1)设0x32，求函数y4x(32x)的最大值；(2) 已知x0，y0，且1x9y1，求xy的最小值【思路点拨】构造和或积的定值，利用基本不等式求解【解】(1)0x32，32x0，y4x(32x)22x(32x)22x(32x)2292.当且仅当2x32x，即x34时，等号成立34(0，32)，函数y4x(32x)(0x32)
5、的最大值为92. (2)x0，y0，1x9y1，xy(1x9y)(xy)yx9xy1061016.当且仅当yx9xy，又1x9y1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16. 变式训练1(1)已知x3，求f(x)4x3x的最大值；(2)已知x1，求yx2x1的最小值解：(1)x3，x30.f(x)4x3x4x3(x3)343x(3x)3243x(3x)31，当且仅当43x3x，即x1时取等号f(x)的最大值为1.(2)yx2x1x211x1x11x1x11x12224，当且仅当1x1x1，即(x1)21时，等式成立，x1，当x2时，ymin4. 小结1两个不等式a2b22ab与ab2ab都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取号”这句话的含义要有正确的理解一方面：当ab时，ab2ab；另一方面：当ab2ab时，也有ab 2,利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值3解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义 作业：课后作业第2题，第3题
