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1、有关弹簧问题的专题复习 纵观历年高考试题,和弹簧有关的物理试题占有相当的比重,高考命题者常以弹簧为载体设计出各类试题,这类试题涉及到静力学问题、动力学问题、动量守恒和能量守恒问题、振动问题、功能关系问题,几乎贯穿于整个力学知识体系,为了帮助同学们掌握这类试题的分析方法,同时也想借助于弹簧问题,将整个力学知识有机地结合起来,让同学们对整个力学知识体系有完整的认识,特将有关弹簧问题分类研究如下.一、弹簧中的静力学问题在含有弹簧的静力学问题中,当弹簧所处的状态没有明确给出时,必须考虑到弹簧既可以处于拉伸状态,也可以处于压缩状态,必须全面分析各种可能性,以防以偏概全.【例1】（2002年广东省高考题）
2、如图所示,a、b、c为三个物块,M、N为两个轻质弹簧,R为跨过光滑定滑轮的轻绳,它们均处于平衡状态.则:（ ）A.有可能N处于拉伸状态而M处于压缩状态B.有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态C.有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态D.有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态【解析】研究a、N、c系统由于处于平衡状态,N可能处于拉伸状态,而M可能处于不伸不缩状态或压缩状态;研究a、M、b系统由于处于平衡状态,M可能处于压缩状态(或处于不伸不缩状态),而N可能处于不伸不缩状态或拉伸状态.综合分析,本题只有A、D正确.【例2】.如图所示,重力为G的质点M与三根相同的轻质弹簧相连,静止时,相邻两弹
3、簧间的夹角均为120,已知弹簧A、B对质点的作用力均为2G,则弹簧C对质点的作用力大小可能为（ ） A.2G B.G C.0 D.3G【解析】弹簧A、B对M的作用力有两种情况：一是拉伸时对M的拉力,二是压缩时对M的弹力. 若A、B两弹簧都被拉伸,两弹簧拉力与质点M重力的合力方向一定竖直向下,大小为3G,此时弹簧C必被拉伸,对M有竖直向上的大小为3G的拉力,才能使M处于平衡状态. 若A、B两弹簧都被压缩,同理可知弹簧C对M有竖直向下的大小为G的弹力.A、B两弹簧不可能一个被拉伸,一个被压缩,否则在题设条件下M不可能平衡.故本题选B、D.【例3】（1999年全国高考题）如图所示,两木块的质量分别为
4、m1和m2,两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2,上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接）,整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块,直到它刚离开上面弹簧.在这过程中下面木块移动的距离为（ ） A. B. C. D.【解析】原来系统处于平衡态则下面弹簧被压缩x1则有：;当上面的木块刚离开上面的弹簧时,上面的弹簧显然为原长,此时对下面的木块m2则有：,因此下面的木块移动的距离为,故本题选C.【注意】缓慢向上提,说明整个系统一直处于动态平衡过程.二弹簧中的动力学问题有关弹簧问题的动力学问题,同学们应注意以下几个问题：一是因弹簧的弹力是变力,物体在弹簧弹力（通常还要考虑物体的重力）作用下做变加速运动
5、,掌握这类问题的动态情景分析是解答这类问题的关键.二是要注意弹簧是弹性体,形变的发生和恢复都需要一定的时间,即弹簧的弹力不能突变.三是要注意弹簧问题的多解性.1. 在弹簧弹力作用下瞬时加速度的求解【例4】一个轻弹簧一端B固定,另一端C与细绳的一端共同拉住一个质量为m的小球,绳的另一端A也固定,如图所示,且AC、BC与竖直方向夹角分别为,则（ ）A.烧断细绳瞬间,小球的加速度B.烧断细绳瞬间,小球的加速度C.在处弹簧与小球脱开瞬间,小球的加速度D.在处弹簧与小球脱开瞬间,小球的加速度【解析】在绳子烧断前,小球受力平衡,据拉密原理可知： ,故,. 烧断细绳瞬间,消失,而尚未变化（弹簧形变需时间,认
6、为这一瞬间不变）,此时合力与等大反向,加速度为；弹簧与球脱开时,消失,发生突变,此时重力与绳子拉力的合力为:.方向与AC垂直,所以.故本题选B、D.【说明】解答这类题型的关键要注意细绳和轻弹簧两种模型的区别：细绳的张力可以发生突变,弹簧的弹力不能发生突变.；但当弹簧的一端不与有质量的物体连接时,轻弹簧的形变也不需要时间,弹力也可以发生突变（因轻弹簧的质量为零,其加速度为无穷大）【例5】如图所示,物块B和C分别连接在轻弹簧的两端,将其静置于吊篮A的水平底板上,已知A、B、C三者质量相等且为m.则将挂吊篮的轻绳烧断的瞬间,吊篮A、物块B和C的瞬时加速度分别为（ ）A.g、g、g B.g、g、0 C
7、.1.5g、1.5g、0 D.g、2g、0【解析】对物块C在轻绳烧断的瞬间,其受力情况不变,故其瞬时加速度为零.而对于吊篮A和物块B,由于它们是刚性接触,它们之间的相互作用力可发生突变,因此在轻绳烧断的瞬间A和B的加速度相等. 研究A、B、C系统,由牛顿定律可知： 因此本题的正确选项为C.【说明】注意两物体“刚性接触” 和“弹性接触” 的区别【例6】如图所示,竖直放置在水平面上的轻弹簧上叠放着两物块P、Q,它们的质量均为2kg,均处于静止状态.若突然将一个大小为10N、方向竖直向下的力施加在物块P上,则此瞬间,P对Q压力的大小为（g取10m/s2）（ ）A.5N B.15N C.25N D.3
8、5N.【解析】在物块P上突然施加一个竖直向下的力的瞬间P和Q的加速度相等.研究P、Q系统,据 研究P物块,据.因此P对Q的压力大小为25N.故本题正确选项为C【练习】如图所示, 绳子OO1 挂着匣子C,匣内又用绳子挂着A球,A的下方用轻弹簧挂着B球,A、B、C三个物体的质量都是m,原来都处于静止状态,当绳子OO1 被烧断瞬间,试求三个物体的瞬时加速度.(aB=0;aA=ac=1.5g)2. 物体在弹簧弹力作用下的动态分析【例7】（2001年上海市高考试题）如图所示,一只升降机在箱底装有若干个弹簧,设在某次事故中,升降机吊索在空中断裂,忽略摩擦力,则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过
9、程中（ ）A ,升降机的速度不断减小 B. 升降机的加速度不断变大C.先是弹力做的负功小于重力做的正功,然后是弹力做的负功大于重力做的正功D.到最低点时,升降机加速度的值一定大于重力加速度的值.【解析】升降机从弹簧下端触地后直到最低点的运动过程可分为三个阶段：mgN（N为弹簧的弹力）,据可知,加速度a随着形变量x的增大而减小,故此阶段升降机做加速度减小的加速运动；mg=N时,速度达到vm；mgN,据可知,加速度a随着形变量x的增大而增大,故此阶段升降机做加速度增大的减速运动,最低点时v=0,由以上分析知A、B错,由动能定理可知选项C正确.做出升降机全过程的速度图象如图所示,由图易知选项D也正确
10、.3. 物体在弹簧弹力作用下的运动分析【例8】如图所示,一劲度系数为k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12kg的物体A、B.物体A、B和轻弹簧竖立静止在水平面上,现要施加一竖直向上的力F作用在上面物体A上,使物体A开始向上做匀加速运动,经0.4s,物体B刚要离开地面,设整个过程弹簧均处于弹性限度内.求：此过程中所加外力F的最大值和最小值：此过程中外力F所做的功.【解析】设物体A刚要开始运动时弹簧的压缩量为x1,尚未施加外力F时,研究物体A,则有.当施加外力F(物体A刚要做匀加速运动时,外力F为最小,此时对物体A有：.(即)设物体B刚要离地时,弹簧的伸长量为x2,此时所施加的外
11、力F2最大.此时研究物体B,则有（此时地面弹力恰为零）. 研究物体A,则有,.代入数据可得： . . .由于物体A刚要开始运动时弹簧的压缩量x1和物体B刚要离地时弹簧的伸长量x2相等,可知这两个状态弹簧的弹性势能相等,因此此过程中外力F所做的功为:.【例9】一名宇航员抵达一个半径为r的星球表面, 为了测定该星球的质量M, 他做了如下实验: 取一根细线穿过光滑的细直管,细线的一端拴一个质量为m的小球, 另一端连接在一固定的测力计上, 手握细直管转动小球, 使之在竖直平面内做完整的圆周运动,并观察测力计的读数发现:小球运动到圆周的最高点和最低点时测力计的示数差为F.已知万有引力常量为G,试求出该星
12、球的质量M【解析】 若设小球在圆周的最高点和最低点时, 绳的拉力大小分别为和,速度大小分别为和.设圆运动半径为R则在最高点时有:, 在最低点时有:, 又:, 小球从最低点到最高点的过程中机械能守恒, 由此可得: 又据 , 由可得:.【例10】两个质量不计的弹簧将一金属块支在箱子的上顶板与下底板之间,箱子只能沿竖直方向运动,如图所示,两弹簧原长均为0.80m,劲度系数均为60N/m.当箱以a=2.0m/s2的加速度匀减速上升时,上、下弹簧的长度分别为0.70m和0.60m(g=10m/s2).若上顶板压力是下底板压力的四分之一,试判断箱的运动情况.【解析】由题意可知上、下两弹簧均处于压缩状态.不
13、仿令下、上弹簧的弹力分别为N1 和N2 则据胡克定律可得:N1=60(0.80-0.60)=12.0N,N2=60=6.0N. 设向下为正方向,当金属块以2.0m/s2 的加速度匀减速上升时,由牛顿第二定律得:.解之m=0.75kg.因弹簧总长度不变, 则上顶板压力为下底板压力的1/4时, 设上、下弹簧的压缩量分别为和,则,由,.则=14.4N. 据,得.因此箱子以大小为4.4m/s的加速度上升或减速下降.【例11】如图所示,质量为M的木块放在水平面上,一轻弹簧下端固定在木块上,上端固定一个质量为m的小球.小球上下振动时,木块始终没有跳起.问：在木块对地面压力为零的瞬间,小球加速度多大？在小球
14、上下振动的全过程中,木块对地面的最大压力多大？【解析】木块对地面压力为零的瞬间, 显然小球振动到最高点时, 此时小球的加速度向下.研究m和M系统,由牛顿第二定律可知 在小球上下振动的全过程中,当小球运动到最低点时,木块对地面的压力最大,此时对m和M系统有：.据弹簧的对称性原理可知,小球在振动的最低点和最高点加速度大小相等. 将代入到可得: 三、弹簧连接体问题【例12】如图所示,一轻弹簧连接两滑块A和B,已知mA=0.99kg,mB=3kg,放在光滑水平面上,开始时弹簧处于原长.现滑块A被水平飞来的质量为mC=10g、速度为400m/s的子弹击中,且没有穿出,试求：子弹击中A的瞬间A和B的速度；
15、以后运动过程中弹簧的最大弹性势能；B可获得的最大动能.【解析】子弹击中滑块A的瞬间,研究A和C系统,由动量守恒定律可得： （此时由于弹簧尚未发生形变,故物块B并未参与A、C间的相互作用）.子弹击中滑块A后,在弹性力的作用下做加速度增大的变减速运动,与此同时,滑块B做加速度增大的变加速运动,当它们的速度相等时,弹簧的弹性势能最大,根据动量守恒定律和能量守恒定律可得： .当它们的速度相等后,在弹性力的作用下,滑块A和子弹C将做加速度减小的变减速运动(当它的速度减为零后, 可向相反方向做变加速运动), 而滑块B将做加速度减小的变加速运动,当弹簧恢复原长时,设滑块B的最大速度为vB,此时滑块A和子弹的速度为vA.根据系统动量守恒定律和系统能量守恒定律(从子弹击中滑块A到弹簧重新恢复原长的过程相当于一个完全弹性正碰过程)得：=+.代入数据可得=2m/s 因此B获得的最大动能为.从子弹击中滑块A到弹簧重新恢复原长的全过程可用速度图象表示,其速度图象如图所示. 关于速度图象的几点说明：由速度图象可知,当
