《线性方程组求解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性方程组求解（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章线性方程组1消元法一、线性方程组的初等变换现在讨论一般线性方程组。所谓一般线性方程组是指形式为a x + ax-F ax= b ,11 11221nn1a x + ax+ ax= b ,、 21 12222nn2(1)a x + a x a x = bs1 1s 2 2sn n s的方程组，其中xx2,x代表n个未知量，s是方程的个数， a, (i = 1,2,-,s; j = 1,2,n)称为线性方程组的系数,b (j = 1,2,. ., s)称为常数项.方 程组中未知量的个数n与方程的个数s不一定相等。系数a的第一个指标i表示 它在第i个方程，第二个指标j表示它是xj的系数.所谓方
2、程组(1)的一个解就是指由n个数k ,k，,k组成的有序数组12n(k ,k ,k )，当x ,x，,x分别用k ,k ,k代入后，(1)中每个等式都变成 12n12n12n恒等式.方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部 的解,或者说，求出它的解集合。如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同 解的。显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了。确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵(a11a21a12a22a1na2n(2) as1as2asn来表示。实际上,有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定 了
3、,而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的。在中学所学代数里学过用 加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组。实际上，这个方法比用行列 式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.例如，解方程组2 x - x + 3 x = 1,4 x + 2 x + 5 x = 4 ,2 x + x + 2 x = 5.、123第二个方程组减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成2 x - x + 3 x = 1,4 x - x = 2 ,2x2 -x3 = 4.第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得2 x - x + 3 x =
4、1,2 x - x = 4 ,、x3 =-6.这样，就容易求出方程组的解为(9, -1，-6).分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用 的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1。用一非零数乘某一方程；2。把一个方程的倍数加到另一个方程；3。互换两个方程的位置。定义1变换1，2, 3称为线性方程组的初等变换.二、线性方程组的解的情形消元的过程就是反复施行初等变换的过程。下面证明，初等变换总是把方程 组变成同解的方程组.下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组。对于方程组(1)，首先检查x的系数。如果x的系数a ,a ,a全为零，那 1111 21s1么方
5、程组(1)对气没有任何限制，气就可以取任何值，而方程组(1)可以看作x，,x的方程组来解.如果x的系数不全为零，那么利用初等变换3,可以设2n1a11卫0.利用初等变换2，分别把第一个方程的-倍加到第i个方程11(i = 2,n)。于是方程组(1)就变成a x + a x HF a x = b ,11 112 21n n 1a x + a x = b,z .22 22n n 2(3)a x + a x = bf,s 2 2sn n s其中a = a n * a , i = 2,，s, j = 2,n11这样，解方程组（1）的问题就归结为解方程组a x + a x = b,22 22n n 2
6、（4）a x + a x = bs 2 2sn n n的问题。显然（4）的一个解，代入（3）的第一个方程就定出x的值，这就得出（3）的 一个解；（3）的解显然都是（4）的解。这就是说，方程组（3）有解的充要条件为方 程组（4）有解，而（3）与（1）是同解的，因之，方程组（1）有解的充要条件为方 程组（4）有解。对（4）再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个 阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为c x + cx+ cx+ cx= d,11 112 21r r1n n 1cx+ cx+ cx= d,22 22 r r2 n n 2(5)c x + c x =
7、d ,rr rrn n r0 = dr+10 = 0, 0 = 0.其中七丰0, i = 1,2,.,r .方程组（5）中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现， 也可能出现，这时去掉它们也不影响（5）的解。而且（1）与（5）是同解的。现在考虑（5）的解的情况。如（5）中有方程0 = d ，而d丰0。这时不管x ,x，,x取什么值都不 r+1r+11 2n能使它成为等式.故（5）无解，因而（1）无解.当d是零或（5）中根本没有“ 0=0的方程时，分两种情况：r+11） r = n .这时阶梯形方程组为c x + c x HF c x = d ,11 112 21n n 1（6）c x HF c
8、x = d ,22 22n n 2,气的值就可以逐个地唯其中c丰0, i = 1,2, ,n.由最后一个方程开始，x ,x 1一决定了.在这个情形，方程组（6）也就是方程组（1）有唯一的解。例1解线性方程组x + 3 x = 1,4 x + 2 x + 5 x = 4 ,2 x + x + 2 x = 5.12）r n。这时阶梯形方程组为c x + c x + c x11 112 21r ,+ c x + c x = d ,+ c x + c x = d ,2,r+1 r+12 nn 2+ c x HF c x = d ,rn n r其中cii丰0,i = 1,2,./.把它改写成c x +
9、c x + -+c x=d-c x -c x ,11 112 21r r11,r+1r+11nnc x + - + c x=d-c x -c x22 22r r22,r+1 r+12nncx=d-c x -c x .rr rrr ,r+1 r+1rn n（7）由此可见，任给x，,x 一组值，r+1n就唯一地定出x ,x ,x的值，也就是定出12r方程组（7）的一个解。一般地，由（7）我们可以把x ,x，,x通过x ,x表示出1 2rr +1n来，这样一组表达式称为方程组（1）的一般解，而x,x称为一组自由未知 量。例2解线性方程组2 x - x + 3 x = 1,4 x - 2 x + 5
10、x = 4 ,2 x - x + 4 x =-1.123从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子，但 是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子。以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变 换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出现的话) 去掉。如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无 解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数,等于未知量的 个数，那么方程组有唯一的解;如果阶梯形方程组中方程的个数,小于未知量的个 数，那么方程组就有无穷多个解.定理1在齐次线性方程组
11、a x + a x -F a x = 0,11 1 12 21n na x + a x + a x = 0,21 122 22n na x + a x a x = 0、S1 1s2 2sn n中，如果s n，那么它必有非矩阵称为线性方程组(1)的增广零解.a a1112aa2122.aas1s 2-矩阵.显然，-ab-ab2 n2-ab/用初等变换(10)化方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵(10)成阶梯形矩阵.因此，解线性方程组的第一 步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是 无解,在有解的情形，回到阶梯形方程组去解.例3解线性方程组2 x -
12、x + 3 x = 1,4 x - 2 x + 5 x = 4 ,2 x - x + 4 x = 0.、1232 n维向量空间定义2所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组(a , a，,a )(1)七称为向量(1)的分量.用小写希腊字母以,P, 丫,来代表向量。定义3如果n维向量a = (a , a ,，a ),。=(b , b，b )12n12n的对应分量都相等，即a - b(i = 1,2，,n).就称这两个向量是相等的，记作a = p .n维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的。定义4向量y= (a + b , a + b，,a + b )1122n n称
13、为向量a = (a , a ,a ),。=(b , b，,b )12n12n的和，记为y =a + P由定义立即推出：交换律：以+P=P+以 。结合律：以+ (P+y)=(以+ P) +y。(3)定义5分量全为零的向量(0,0,0)称为零向量，记为0；向量(-a，-a ,，-a )称为向量a = (a ,a ,a )的负向量，12n12n记为-a。显然对于所有的a，都有a + 0 = a .(4)以 + (-a) = 0 .(5)(2) -(5)是向量加法的四条基本运算规律。定义 6 a-P = a + (-P)定义7设k为数域P中的数，向量(ka , ka，,ka )12n称为向量a = (aa2,a )与数k的数量乘积，记为ka由定义立即推出：k (a + p) = ka + kp，(6)(k +1)a = ka+ la，(7)k (la) = (kl)a，(8)1a = a.(9)(6)-(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)-(9)或由定义不难推出：0a = 0,(10)(-1)a = -a，(11)k0 = 0。(12)如果k主0,a主0,那么ka 手 0。(13)定义8以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间。在n = 3
