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1、2.1.5向量共线的条件及轴上向量的坐标及其运算沈阳市第27中学 金红三维目标：1通过探究向量共线的条件，理解向量平行(共线)概念和平行向量基本定理，会证明几何中简单的平行问题2理解轴和轴上向量的概念，理解轴上向量的坐标建立轴上向量与实数的一一对应关系3通过轴上向量的探究，能用向量的观点理解数轴，用轴上向量运算证明解析几何基本公式，并能用向量确定直线上点的位置重点难点 教学重点: 平面向量基本定理，轴上向量的坐标及其运算教学难点: 平行向量基本定理的应用课时安排: 1课时教学过程：（一） 情景导入通过三个问题引入新课。问题1：向量共线是如何定义的？问题2：根据向量的数乘运算，a与a（0，a0）
2、的方向有何关系？问题3：向量a与a（为常数）共线吗？由向量平行和数乘向量的定义可以直接推知：平行向量基本定理。引出新课。（二） 新知讲解1、平行向量基本定理（老师板演定理） 如果ab，则ab； 反之，如果ab，且b0，则一定存在唯一一个实数，使ab.思考：为什么要求b0？2、单位向量： 给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量记作a0，由数乘向量的定义可知a|a|a0或a0=aa. 3. 轴上向量的坐标及其运算(1)轴的概念: 规定了方向和长度单位的直线叫做轴。 思考：轴与数轴有何区别？ 答: 这里说的轴是指规定了方向和长度单位的直线与数轴不同的是这里没有规定原点
3、，仅是方向和长度单位 根据向量平行的条件，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x，使axe. 反过来，任意给定一个实数x，我们总能作一个向量axe，使它的长度等于这个实数x的绝对值，方向与实数的符号一致 (2)基向量 , 坐标: 给定单位向量e，能生成与它平行的所有向量的集合xe|xR 这里的单位向量e 叫做轴l的基向量，x叫做a在l上的坐标(或数量) 当a与e 同向时，x是正数；当a与e 反向时，x是负数x的绝对值等于a的长. 那么，在一条轴上，当我们把相等向量看成同一个向量时,实数与这条轴上的向量建立起一一对应关系于是，我们就可用数值来表示向量 (3)轴上两向量相等 , 两向量的和: 设ax
4、1 e，bx2 e，于是： 如果ab，则x1x2；反之，如果x1x2，则ab； 另外，ab(x1x2) e. 这就是说，轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和 (4) 轴上向量的坐标 , 两点间距离公式 设e是轴l上的一个基向量AB的坐标又常用AB表示，这时AB ABe. 显然BABAe，AB与BA绝对值相同，符号相反，即ABBA0. 设e 是l上的一单位向量，在l上任取三点A，B，C，则AB+BC=AC， ABeBCeACe，(ABBC) eACe.因为e0，所以ABBCAC.例如ABAO+OB , BCBM+MC. 在轴x上选一定点O作为原点，就
5、成为我们学过的数轴. 设e 是轴x 的基向量，向量a 平行于x 轴，以原点O为始点作OPa，则点P的位置被向量a所唯一确定，由平行向量基本定理知道，存在唯一的实数x，使OPxe. 数值x是点P的位置向量OP在x轴上的坐标，也就是点P在数轴x上的坐标；反之亦然 例如，如果点P的坐标为3，则点P的位置向量OP的坐标也为3. 在数轴x上，已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2 (上图)，于是由公式，得 ABAO+OB-OA+OBx2x1 , 即ABx2x1, 这就是说，轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标 数轴上两点的距离公式AB|x2x1|（三） 例题探究,即学即用例1: 如图，MN是A
6、BC的中位线，求证：MN12BC，且MNBC.证明：因为M，N分别是AB，AC边上的中点，所以AM=12AB,AN=12AC，MN=AN-AM=12AB-12AC=12AB-AC=12BC 所以MNBC，MN12BC.例2: 已知 a3e，b2e.试问向量a与b 是否平行？并求|a|b|.解：由b2e，得e-12b，代入a3e，得a-32b.因此，a与b 平行，且|a|b|32例3:已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是4，2，6，求AB,BC,CA的坐标和长度解：AB(2)46，AB|6|6；BC6(2)4，|BC|4|4；CA4(6)10,CA|10|10.（四） 总结反思本节课我的学习收获是。学习了共线向量基本定理，向量a的单位向量，还有轴上向量的坐标及其运算公式。其中根据共线向量基本定理可以证明一些几何问题，可以判断向量共线和三点共线问题。根据轴上向量坐标公式，可以将向量与实数对应起来，可以数形结合解决问题。（五） 课后作业教材习题2-1：A组3、4、5、6、8题 ；B组5题
