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1、第一章 数字信号处理概述判断说明题：1模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 （ ）答：错。需要增加采样和量化两道工序。2一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（ ）答：错。受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。第二章 离散时间信号与系统分析基础一、离散时间信号与系统频域分析计
2、算题：1设序列的傅氏变换为，试求序列的傅里叶变换。解： 由序列傅氏变换公式 DTFT可以得到DTFT 2计算下列各信号的傅里叶变换。 （a） （b）（c） 解：（a） （b） （c）7计算下列各信号的傅立叶变换。（1）（2）（3）【解】（1） （2）假定和的变换分别为和，则所以 （3） 第三章 离散傅立叶变换一、离散傅立叶变换定义填空题1某DFT的表达式是，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（ ）。解：2某序列DFT的表达式是，由此可看出，该序列的时域长度是（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。解：N 判断说明题：3一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，
3、也就能做DFT对它进行分析。 （ ）解：错。如果序列是有限长的，就能做DFT对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。计算题4试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）（1） （2）解：（1）因为，所以（2）由，得所以5计算下列序列的N点DFT： （1） （2），解：（1）， （2） , k=m或k=-m= 0, 其它6已知一个有限长序列 （1） 求它的10点离散傅里叶变换（2） 已知序列的10点离散傅立叶变换为，求序列解：（1）=1+2=1+2=1+2，（2）由可以知道，是向右循环移位2的结果，即7、已知序列：，求的N点DFT。解： = 0， 其它8、计算下列有限长序
4、列的DFT，假设长度为N。 （1） （2）解：（1） (2) 三、离散傅立叶变换性质填空题：1已知序列，序列长度，写出序列的值（ ）。解：2已知，则和的5点循环卷积为（ ）。解： 3已知则的4点循环卷积为（ ）。解：证明题：4试证N点序列的离散傅立叶变换满足Parseval恒等式 证： 5是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性： 证明略。6长为N的有限长序列，分别为的圆周共轭偶部及奇部，也即证明：证 7若证： （1） （2）由（2），将互换，则有 （这应该是反变换公式） （用，且求和取主值区） 与（1）比较 所以8若，求证。证： 而 （为整数） 0 所以 于是 9令表示N点序列的
5、N点DFT，试证明：（a） 如果满足关系式，则。（b） 当N为偶数时，如果，则。证： （a）N为偶数： N为奇数：而中间的一项应当满足： 因此必然有 这就是说，当N为奇数时，也有。（b）当N为偶数： 当N为偶数时，为奇数，故；又由于故有10设，求证。【解】因为 根据题意 因为 所以 11证明：若为实偶对称，即，则也为实偶对称。【解】 根据题意 下面我们令进行变量代换，则 又因为为实偶对称,所以，所以 可将上式写为 所以 即证。注意：若为奇对称，即，则为纯虚数并且奇对称，证明方法同上。计算题：12已知，用圆周卷积法求和的线性卷积。解： ， 因为的长度为,的长度为所以的长度为,故应求周期的圆周卷积
6、的值，即所以13序列，序列。（1）求线性卷积（2）若用基2 FFT的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT至少应取多少点？ 解：（1）所以，（2）若用基2FFT的循环卷积法（快速卷积）来完成两序列的线性卷积运算，因为的长度为；所以得长度为。故FFT至少应取点。14有限长为N=100的两序列 做出示意图，并求圆周卷积及做图。解 示意图略，圆周卷积15已知是长度为N的有限长序列，现将的每两点之间补进个零值，得到一个长为的有限长序列 求：DFT与的关系。 解：因为 令 16已知是N点有限长序列，。现将长度变成点的有限长序列 试求点DFT与的关系。解：由可得 所以在一个周期内，
7、的抽样点数是倍，相当于在的每两个值之间插入个其他的数值（不一定为零），而当的整数倍时，相等。17已知是N点有限长序列，。现将的每两点之间补进个零值点，得到一个点的有限长序列 试求点DFT与的关系。解：由可得而 所以是将（周期为N）延拓次形成的，即周期为。18已知序列和它的6点离散傅立叶变换。（1）若有限长序列的6点离散傅立叶变换为，求。（2）若有限长序列的6点离散傅立叶变换为的实部，即，求。（3）若有限长序列的3点离散傅立叶变换 ，求。解：（1）由知，是向右循环移位4的结果，即 （2） 由上式得到 （3） 由于 所以 即 或 19令表示N点的序列的N点离散傅里叶变换，本身也是一个N点的序列。如
8、果计算的离散傅里叶变换得到一序列，试用求。解 因为 所以20为了说明循环卷积计算（用DFT算法），分别计算两矩形序列的卷积，如果，求 （1）两个长度为6点的6点循环卷积。 （2）两个长度为6点的12点循环卷积。【解】这是循环卷积的另一个例子。令 图3-6中，N定义为DFT长度。若，则N点DFT为 如果我们将和直接相乘，得 由此可得 这个结果绘在图3-6中。显然，由于序列是对于旋转，则乘积的和始终等于N。当然也可以把和看作是2L点循环卷积，只要给他们增补L个零即可。若我们计算增长序列的2L点循环卷积，就得到图3-7所示序列。可以看出它等于有限长序列和的线性卷积。注意如图3-7所，时 所以图3-7
9、（e）中矩形序列的DFT为（） 循环卷积的性质可以表示为 考虑到DFT关系的对偶性，自然两个N点序列乘积的DFT等于他们对英的离散傅里叶变换的循环卷积。具体地说，若，则 或 21设是一个2N点序列，具有如下性质 另设，它的N点DFT为。求得2N点DFT和的关系。【答案】22已知某信号序列，试计算（1）和的循环卷积和；（2）和的线性卷积和；（3）写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤。【答案】（1） （2） （3）略23如图表示一个5点序列。（1）试画出（2）试画出解：简答题：24试述用DFT计算离散线性卷积的方法。解：计算长度为M,N两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为M+N-1,而后求补零后
10、两序列的DFT，并求其乘积，最后求乘积后序列的IDFT，可得原两序列的线性卷积。25已知是两个N点实序列的DFT值，今需要从求的值，为了提高运算效率，试用一个N点IFFT运算一次完成。解：依据题意 取序列 对作N点IFFT可得序列。又根据DFT性质 由原题可知，都是实序列。再根据，可得 四、频域取样填空题：1从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。采用的方法，从时域角度看是（ ）；从频域角度看是（ ）。解：采样值对相应的内插函数的加权求和加低通，频域截断2由频域采样恢复时可利用内插公式，它是用（ ）值对（ ）函数加权后求和。解： 内插3频域N点采样造成时域的周期延拓，其周期是（ ）。解：（频域采样点数时域采样周期）简答题：4 已知有限长序列的变换为，若对在单位圆上等间隔抽样点，且，试分析此个样点序列对应的IDFT与序列的关系。解：如果 即是在单位圆上点等间隔抽样，根据频域抽样
