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1、 1.向量的概念向量既有大小又有方向的量。向量一般用来表达,或用有向线段的起点与终点的大写字母表达，如:几何表达法,;坐标表达法。向量的大小即向量的模（长度),记作|即向量的大小，记作|。向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。零向量单位向量模为1个单位长度的向量，向量为单位向量1。平行向量(共线向量)方向相似或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同始终线上,方向相似或相反的向量，称为平行向量，记作。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同始终线上,故平行向量也称为共线向量。相等向量长度相等且方向相似的向量相等向量通过平移后总可以重叠，记为。大小相等,方向相似。
2、2.向量的运算（1)向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。设，则+。向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”(1）用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重叠的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。(） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一种向量的起点指向最后一种向量的终点的有向线段就表达这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时,用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多种向量相加: ,但这时必须“首尾相连”。(2)向量的减法 相反向量:与长度相
3、等、方向相反的向量,叫做的相反向量。记作,零向量的相反向量仍是零向量。有关相反向量有:(i)； （ii） +()()+=;(i)若、是互为相反向量，则=,=,+=。向量减法向量加上的相反向量叫做与的差，记作:求两个向量差的运算，叫做向量的减法。作图法:可以表达为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点)。()实数与向量的积实数与向量的积是一种向量，记作，它的长度与方向规定如下:（);（)当时,的方向与的方向相似;当时,的方向与的方向相反;当时,方向是任意的。数乘向量满足互换律、结合律与分派律。3两个向量共线定理:向量与非零向量共线有且只有一种实数,使得=。4.平面向量的基本定理如果是一种平面内的
4、两个不共线向量，那么对这一平面内的任历来量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表达这一平面内所有向量的一组基底。5.平面向量的坐标表达(1)相等的向量坐标相似，坐标相似的向量是相等的向量；(2)向量的坐标与表达该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。(2)平面向量的坐标运算：若,则；若,则;若=(,)，则=(x， y）；若,则。向量的数量积（1)两个非零向量的夹角已知非零向量a与a，作,，则AOA(0）叫与的夹角;阐明：(1）当=时,与同向；（2)当时，与反向；()当=时,与垂直,记；（)注旨在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范畴0q18。C（）数量积的
5、概念已知两个非零向量与，它们的夹角为,则=cos叫做与的数量积(或内积)。规定；向量的投影:co=R,称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；（3)数量积的几何意义: 等于的长度与在方向上的投影的乘积。(4）向量数量积的性质;平面向量数量积的运算律向量的夹角:os=。当且仅当两个非零向量与同方向时，=00,当且仅当与反方向时=180,同步与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题。(5)两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量，则=。(6)垂直:如果与的夹角为90则称与垂直,记作。两个非零向量垂直的充要条件:=O，平面向量数量积的性质。（7）平面内两点间的距离公式设，则或。如果表达向量的有向线
6、段的起点和终点的坐标分别为、,那么(平面内两点间的距离公式)。 例一如图-2,正六边形ABCEF中，=( ）图1-2A0 B. .【解析】 +=+=,因此选D.练习 1如图正六边形ABCDEF中，+( ) A B. D. 例二 已知向量（,1)，(0，），c(k，).若a-2b与c共线，则k=_. 【解析】由于a2b=(，3)，由2b与共线，有，可得=.练习已知向量a=（,1）,b(0,-),=(k,).若-b与c共线,则k=_课标文数3.2广东卷已知向量a=(1,2),(1,0),c（3，4)若为实数，(ab)c，则（ )A B. C1 D3课标文数13.2湖南卷 设向量a,b满足a2，b(
7、2,1），且a与b的方向相反,则的坐标为_例设1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(R）,=(R),且+=，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知平面上的点C,D调和分割点A，B,则下面说法对的的是( )AC也许是线段A的中点BD也许是线段AB的中点.C、D也许同步在线段B上D、D不也许同步在线段B的延长线上来源:Zxxk.Com 【解析】 若、D调和分割点A；B，则=()，=(R),且+2.对于A:若C是线段AB的中点，则=0，故A选项错误；同理选项错误;对于：若、同步在线段A上，则01，1,1p：|a1;p4：|-b|1其中的真命题是（ )A.p,4 .p，p3C.2，
8、p3 Dp2，p4【解析】 由于2ab21abcos=cos-，因此p1为真命题,p2为假命题.又由于22b+21bcos=,因此p4为真命题,p3为假命题练习课标理数10.F辽宁卷 若，c均为单位向量，且a=,（a-c)(）0，则ab|的最大值为()A.- .1 C. D2课标文数3.3辽宁卷已知向量a=（2，1），b(-1,k）,a(a-b)=,则k=()A1 6 .6 .123课标文数3F3课标全国卷 已知a与为两个不共线的单位向量,为实数,若向量ab与向量ka-b垂直，则k=_.4课标数学0F江苏卷 已知e1，e是夹角为的两个单位向量，a1-2e2，ke2， 若ab=0,则实数k的值为_5大纲理数12F重庆卷已知单位向量1,2的夹角为6,则|2e1-e2=_大纲文数5F3重庆卷 已知向量a=(1,)，(2,)，且b与a共线，那么ab的值为( )A.1 B.23 47大纲理数12.F4全国卷 设向量a，b，满足a|=|b|=1，b=-，ac，b-c=0，则|c|的最大值等于( ）A.2 B C D.18 北京海淀一模 在四边形ABCD中，,且0,则四边形D是
