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1、备战2019年中考数学压轴题之二次函数专题07 二次函数背景下的三角形相似（全等） 【方法综述】三角形全等是三角形相似的特殊情况。三角形的全等和相似是综合题中的常见要素，解答时注意应用全等三角形和相似的判定方法。另外，注意题目中“”与全等表述、“”和相似表述的区别。全等和相似的符号，标志着三角形全等（相似）的对应点的一、一对应关系。解答时，对于确定的对应边角可以直接利用于解题。而全等、相似的语言表述，标志着对应点之间的组合关系，解答时，要进行对应边的分类讨论。【典例示范】类型一 确定的全等三角形条件的判定应用例1：（陕西省渭南市大荔县中考数学三模试题）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中
2、点A的坐标为，抛物线的顶点为P求b的值，并求出点P、B的坐标；在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，试说明理由【答案】存在，【解析】抛物线经过，解得：，抛物线的表达式为，点P的坐标为令得：，解得或，的坐标为存在，点如图：过点P作轴，垂足为C，连接AP、BP，作的平分线，交PB与点N，交抛物线与点M，连接PM、BM，是等边三角形，在和中，存在这样的点M，使得，点N是PB的中点，设直线AM的解析式为，将点A和点N的坐标代入得：，解得：，直线AM的解析式为将代入抛物线的解析式得：，解得：或舍去，当时，点M的坐标为针对训练1（2018年九年级数学北师大版下册
3、：第二章检测卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(2，0)，(6，8)(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F，使FOEFCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1) yx23x8；（2）点F的坐标为(3，4)或(3，4)【解析】（1）抛物线y=ax2+bx-8经过点A（-2，0），D（6，-8）， 解得抛物线的函数表达式为yx23x8；yx23x8 (x3)2 ，
4、抛物线的对称轴为直线x=3又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（-2，0）点B的坐标为（8，0），设直线L的函数表达式为y=kx点D（6，-8）在直线L上，6k=-8，解得k=- ，直线L的函数表达式为y=-x，点E为直线L和抛物线对称轴的交点，点E的横坐标为3，纵坐标为-3=-4，点E的坐标为（3，-4）；（2）抛物线上存在点F，使FOEFCEOE=CE=5，FO=FC，点F在OC的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为-4，x2-3x-8=-4，解得x=3 ，点F的坐标为（3-，-4）或（3+，-4）2（河南省濮阳市2018届九年级中考数学二模试题）如图，一次函数与坐标轴分别交于A，B两点
5、，抛物线经过点A，B，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO运动，两点同时出发，运动时间为t秒求此抛物线的表达式；求当为等腰三角形时，所有满足条件的t的值；点P在线段AB上运动，请直接写出t为何值时，的面积达到最大？此时，在抛物线上是否存在一点T，使得？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)；（2）当为等腰三角形时，t的值为、或或4；（3）点T的坐标为【解析】把代入中，得把代入中，得，把，分别代入中，得，抛物线的表达式为，由勾股定理，得，运动t秒后，为等腰三角形，有，三种情况，当时，过点Q作于点D在中
6、，解得；当时，若点P在x轴上方的直线AB上，解得；若点P在x轴下方的直线AB上，解得：；当时，过点P作于点E则，在中，解得：综上所述，当为等腰三角形时，t的值为、或或4过点P作于点F，延长FP交抛物线与点T为底边AQ上的高，当时，的面积最大此时点P为AB的中点，且连接OP，则，点，点T的横坐标为，将代入抛物线的解析式得：在中，由勾股定理可知：，点T的坐标为类型二 全等三角形的存在性探究例2（四川省眉山市洪雅县2018届九年级中考适应性考）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点分别为A（6，0）和点B（4，0），与y轴的交点为C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段OA上一动点
7、（不与点A重合），过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上是否同时存在点D和点P，使得APQ和CDO全等，若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；若DCB=CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标【答案】（1）y=x2x+3；（2）点D坐标为（，0）；点M（，0）.【解析】（1）将点（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得，解得： ，抛物线解析式为：y=-x2-x+3；（2）存在点D，使得APQ和CDO全等，当D在线段OA上，QAP=DCO，AP=OC=3时，APQ和CDO全等，tanQAP=tanDCO，OD=，点D坐标
8、为（-，0）.由对称性，当点D坐标为（，0）时，由点B坐标为（4，0），此时点D（，0）在线段OB上满足条件OC=3，OB=4，BC=5，DCB=CDB，BD=BC=5，OD=BD-OB=1，则点D坐标为（-1，0）且AD=BD=5，连DN，CM，则DN=DM，NDC=MDC，NDC=DCB，DNBC，则点N为AC中点DN时ABC的中位线，DN=DM=BC=，OM=DM-OD=点M（，0）针对训练1如图，在平面直角坐标系中，以点M（2，0）为圆心的M与y轴相切于原点O，过点B（2，0）作M的切线，切点为C，抛物线经过点B和点M（1）求这条抛物线解析式；（2）求点C的坐标，并判断点C是否在（1）
9、中抛物线上；（3）动点P从原点O出发，沿y轴负半轴以每秒1个单位长的速度向下运动，当运动t秒时到达点Q处此时BOQ与MCB全等，求t的值【答案】（1）yx2+；（2）点C在（1）的抛物线上；（3）t2【解析】（1）将点M（2，0）、B（2，0）代入 yx2+bx+c 中，得： 解得：抛物线的解析式：yx2（2）连接MC，则MCBC；过点C作CDx轴于D，如图，在RtBCM中，CDBM，CM2，BM4，则：DM1，CD，ODOMDM1，C（1，）当x1时，yx2，所以点C在（1）的抛物线上（3）BCM和BOQ中，OBCM2，BOQBCM90，若两三角形全等，则：OQBC，当t2时，MCB和BOQ
10、全等2（广西田阳县实验中学2019届九年级中考一）如图所示，抛物线（m0）的顶点为A，直线与轴的交点为点B.（1）求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含的代数式表示）；（2）证明点A在直线上，并求OAB的度数；（3）动点Q在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与OAB全等？若存在，求出的值，并写出所有符合上述条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，顶点A的坐标为（，0）；（2）OAB=30；（3）存在，=时， P（0，-），P（，-）；=时，P（，-3），P（3+，-3）；=2时， P（，-3），P（，-3）；=时， P（
11、，-），P（，-）. 【解析】（1）对称轴：x=m；顶点：A（m，0）（2）将x=m代入函数y=x-m，得y=m-m=0点A（m，0）在直线l上当x=0时，y=-m，B（0，-m）tanOAB=，OAB=30度（3）以点P、Q、A为顶点的三角形与OAB全等共有以下四种情况：当AQP=90，PQ=m，AQ=m时，如图1，此时点P在y轴上，与点B重合，其坐标为（0，-m），代入抛物线y=-（x-m）2得-m=-3m2，m0，m=这时有P1（0，-）其关于对称轴的对称点P2（，- ）也满足条件当AQP=90，PQ=m，AQ=m时点P坐标为（m-m，-m），代入抛物线y=-（x-m）2得m=m2，m0
12、，m=这时有P3（3-，-3）还有关于对称轴的对称点P4（3+，-3）当APQ=90，AP=m，PQ=m时点P坐标为（m，m），代入抛物线y=-（x-m）2得m=m2，m0，m=2这时有P5（，-3）还有关于对称轴的对称点P6（3，-3）当APQ=90，AP=m，PQ=m时点P坐标为（m，m），代入抛物线y=-（x-m）2得m=m2，m0，m=这时有P7（，-）还有关于对称轴对称的点P8（，-）所以当m=时，有点P1（0，-），P2（，-）；当m=时，有点P3（3-，-3），P4（3+，-3）；当m=2时，有点P5（，-3），P6（3，-3）；当m=时，有点P7（，-），P8（，-）3如图1，
13、抛物线y1=ax2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GMx轴于点M将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与AMG全等，求直线PR的解析式【答案】（1）y2=-x2+ x-；（2）存在；（3）y=x+或y=.【解析】（1）由已知，c=，将B（1，0）代入，得：a=0，解得a=，抛物线解析式为y1=x2- x+，抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0），y2=（x1）2，即y2=-x2+ x-；（2）存在，如图1：抛物线y2的对称轴l为x=1，设T（1，t），已知A（3，0），C（0，），过点T作TEy轴于E，则TC2=TE2+CE2=12+（）2=t2t+，TA2=TB2+AB2=（1+3）2+t2=t2+16，AC2=，当TC=AC时，t2t+=，解得：t1=，t2=；当TA=AC时，t2+16=，无解；当TA=TC时，t2t+=t2+16，解得t3=；当点T坐标分别为（1，），（1
