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1、(word完整版)不动点法求数列的通项不动点法求数列的通项记函数f（x）的定义域为D，若存在D，使f()成立，则称（，)为坐标的点为函数f（x）图象上的不动点。以此类推,在数列an中，an+1=f（an）(nN+)，若存在满足方程f()，称为不动点方程f（）的根。下面介绍的一些数列，可先求生成函数（递推式）的不动点,通过换元后,化为等比数列，再求这些数列的通项，这一方法,我们不妨称为不动点法。一、递推式为an+1=aan+b（a 0，a 1,a,b均为常数）型的数列由递推式an+1=aan+b总可变形为an+1=a（an）（)（） 式中的与系数a,b 存在怎样的关系呢？由(）得an+1=aan
2、ab=a即a+b（）关于的方程（）刚好是递推式an+1=aan+b中的an,an+1都换成得到的不动点方程。令bn=an代入（）得bn+1=abn一般来说,可先求等比数列bn的通项，再求数列an的通项.例：在数列an中，已知a1=1,an+1=1an (nN+），求a.解:令x=1x得x=an+1=1an= （an)令bn=an，则bn+1=bn数列bn成首项为b1=a1=1=，公比为q的等比数列，于是有bn=（)n1即an（）n1an=1(）na=二、递推式为an+1=（c 0，a，b,c，d为常数）型的数列an+1=令可化得（)关于的方程（）刚好是递推式an+1=中的an，an+1都换成后
3、的不动点方程。当方程（）有两个不同根，时，有an+1an+1令bn=有bnbn一般来说，可先求等比数列bn的通项，后求数列an的通项.例：数列an由a=2，an+1=(n1）给出，求a.解：令x=，得x1 =1,x2 =1，于是有an+1- 1 =an+1+1 =设bn=,则bn+1 =bn这样数列bn成首项为b1 =，公比为的等比数列， 于是bn =,由bn=得an=a=1当方程（）出现重根同为时,由an+1得设cn=得cncn即数列cn的递推式总可化为“cnacn+b（a，b为常数）型，又一次运用不动点法求得数列cn的通项，从而求数列an的通项。例：在数列an中,an=1， a= （n=1
4、,2)。求a。解:令x=，得x1=x2=0设bn=,则由a=可得b=bn+bn成为首项为1,公差为的等差数列，于是 b=1+a=需要指出的是,上述方法同样适用于方程（）两根不同的情形。对例，可设cn=(或cn=），我们运用上述方法来求数列an的通项。例另解：令x=，得x1 =1,x2 =1,于是有an+1 1 =+令bn=，则b1=1，bn+1=2bn+ 令2+得bn+1+=2bn+ +=2(bn+ )bn + 成首项为b1+= ，公比为的等比数列,于是有bn+ =2n-1bn=2n-1-= （32n11)代入bn=得an=1+=1+=1+a=1三、递推式为an+1=（b，d为常数）型的数列先
5、看2007年普通高考广东数学理科卷压轴题第21题：已知函数f （x）=x2+x1， ,是方程f（x）的两个根(），f/（x）是f （x)的导数，a1 =1，an+1=an (n=1，2）(1) 求，的值；(2) 证明：对任意的正整数n,都有an ；(3) 记b n =ln（n=1,2), 求数列bn的前n项和sn .这道题第(3)小题可以按如下来求b n:an+1= = （)同理an+1 = (）（）(）得： = 于是得ln=2 ln设bn= ln，则bn+1=2bn，故数列bn成首项为b1=ln=4ln,公比为2的等比数列，故b n=2n+1 ln，当然由bn=2ln 可求a n 。方程f
6、(x）=x2+x1=0的两根，与递推式an+1=an =有何关系呢?仔细推敲,方程x2+x1=0正好是不动点方程x=的变形，也是不动点方程x=的两根。是不是所有递推式形如“an+1 =”的数列都可用上述换元方法求an通项呢？下面举一反例给予否定.例如：对an+1= （n=1,2），令 x= 解得 x1=1， x2= an+1 1= 1 = 显然 an2 3an+2（ an 1）2 .当系数a，b，c，d怎样时，才可运用上述换元方法求呢?an+1 =令an2 + (a c) an + （b d） = ( an )2 =由恒等式得： a C= 2 a = 0 c =2b d =2 2 + db =
7、0 （）把（)式中改为x得： x2 + d x b =0 ()方程（）正好是当a=0，c=2时递推式“an+1=”的不动点方程x= 的变形。所以,对已知初始值a1（或数列an的某一项)，递推式为an+1=(b,d为常数，n为正整数）的数列an，设,是不动点方程x= 的两根,可按下列方法求数列an的通项:当a1=或，数列an为常数数列，an=或；当a1且a1,若,设bn=ln| , 证bn为等比数列，后求an ；当a1=时，由不动点方程x= 得 x2 + d x b =0 = d2+4b=0b = 此时 an+1= an+1+先求等比数列bn = an + 的通项，后求an 。 例4: 设a2，给定数列xn其中x1=a，xn+1 = ，求证：当n充分大时，xn2 ，可得 01， ,故当n充分大时，xn3 。7
