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1、1 小波分析简介1.1 小波分析与Fourier分析、时频分析小波变换最早是由法国地球物理学家Morlet于20世纪80年代初在分析地球物理信号时提出来的。其基本思想是将对信号的频率域描述、分析改为在另外一个域（如尺度域），用联合的时间和尺度平面来描述信号。小波分析是用一簇函数去表示或逼近一个信号或函数，这一簇函数称为小波函数系。它是由基本小波函数经不同尺度的伸缩和平移构成的。小波分析与Fourier分析的本质区别在于：Fourier分析只是考虑时域和频域之间的一一对应映射，它以单个变量（时间或频率）的函数来表示信号；小波分析则利用联合时间尺度函数分析非平稳信号。小波分析与时频分析的本质区别在
2、于：时频分析在时频平面上表示非平稳信号，小波分析描述非平稳信号虽然也是在二维平面上，但不是在时频平面上，而是在所谓的时间尺度平面上。短时Fourier变换是以同一种分辨率来观察信号，而小波分析则以不同的尺度或分辨率来观察信号。经过十几年的发展，小波分析在理论和方法上取得了突破性的进展，多分辨分析、框架和滤波器组三大理论为其典型代表3。1.2 基本小波与小波函数系、小波变换的性质3，4我们称满足条件 的平方可积函数 为一基本小波或小波母函数。常用的几种母小波函数主要有Haar母小波、高斯母小波、墨西哥草帽母小波、Morlet母小波等。也可定义为：若 且 满足可容许条件则称 为容许（连续）小波或基
3、本小波。由基本小波 经平移和伸缩构成的一簇函数称为小波函数系，也统称为小波。式中 为伸缩因子，又称为尺度因子； 为时移量，又称为平移因子或时移因子。尺度参数 大对应于低频端，且频率分辨率高、时间分辨率低；反之，尺度参数 小对应于高频端，且频率分辨率低、时间分辨率高。连续小波变换的性质主要包括：线性、平移不变性、伸缩不变性、自相似性、冗余性等。2 小波分析在测井中的应用研究现状2.1 小波变换在测井曲线去噪中的应用5原始测井资料普遍存在着噪声，如放射性测井曲线上出现许多与地层性质无关的统计起伏变化，还有些测井曲线有时受到某种因素的影响而出现与地层无关的毛刺干扰。抑制测井数据中的噪声是一个传统问题
4、，通常采用频率域滤波和简单的平滑来对测井曲线作低通滤波，其特点见表1。以小波变换为基础的处理方法不但能够获得较高信噪比,而且能够保持良好的分辨率。小波域内软门限去噪方法简单易行，包括3个步骤:(1)对测井曲线进行小波分解，小波分解和重构按照 Mallat 塔式算法3，4进行；(2)利用非线性软门限函数作用于小波系数，将噪声和接近噪声强度的小波系数置零；(3)小波重构，得到滤去噪声的测井曲线，见图1。D.L.Donoho等人提出的小波域内应用软门限算法去噪是理想方法之一。采用该算法进行测井曲线去噪处理结果表明，基于小波变换的去噪方法可以滤除测井曲线的噪声和干扰，而且比传统的滤波方法更为有效。2.
5、2 小波变换在提高测井曲线纵向分辨率中的应用6，7国内外已提出了一些提高测井曲线纵向分辨率的方法，如频域滤波法、反褶积法、最大熵法、分辨率匹配法等，并且取得了一定的效果。测井曲线的小波变换分析表明，常规测井曲线的小波频谱具有确定的特征。测井曲线频谱的某一频率段是某一厚度地层信息的表征，其中高频成分对应着薄地层的信息，围岩及测井仪器响应等影响因素对测井信号的综合影响相当于一个低通滤波器，地层真值经过滤波后，其薄层信息的能量被削弱，测井曲线变得平滑，对应于频率域则表现为其高频信息被削弱。因此，可运用小波变换的以“分频加权重构”原则，首先对测井曲线进行小波分解，然后通过选取加权系数对曲线中的高频信息
6、作能量补偿，然后再进行小波重构，不仅可以补偿薄层信息能量，而且可以使测井曲线上厚层中被削弱的地层界面得到一定程度的恢复，以便接近地层真值，从而提高测井曲线的纵向分辨率。其主要步骤包括： 对某井段的各测井曲线进行小波分解，将测井信号分为不同频道的小波变换信号； 对每一条原始测井曲线进行频谱分析以及各频道的频谱分析； 以分辨率较高的测井曲线频谱特征为标准，确定其他曲线上各频段的加权系数； 进行小波重构，得到初步提高分辨率的测井曲线；对处理后的测井曲线进行频谱分析，用同一系列中分辨率最高的曲线频谱作为标准频谱，将其他曲线的频谱与标准频谱进行对比，调整加权系数。例子见图2。图2表明，重构后的自然伽马测
7、井曲线GRH比原始自然伽马测井曲线GR含有更丰富的细节信息,纵向分辨率提高了。对比发现经小波重构法处理的GR曲线比反褶积后的曲线在细节上的变化更为明显，更能反映细节值的变化，所以小波重构后的曲线比反褶积有更高的纵向分辨率。研究表明，利用小波分析技术对测井曲线进行高分辨率处理，将测井信号与低通滤波器和高通滤波器进行褶积运算，可以得到在不同频率下的测井信号，分解后的信号由趋势部分和细节部分组成，通过对细节部分进行增益控制后，再将信号重构回去，重构后的信号具有丰富的离散细节信息，提高了纵向分辨率。将此方法与三点或五点反褶积技术相比较，结果表明，经小波分解和重构后的曲线优于反褶积后的测井曲线。实例分析
8、表明利用小波分析技术可以有效地提高测井曲线的纵向分辨率，从而改善储层评价的精度。2.3 测井数据小波变换在层序地层单元自动划分、沉积旋回和突变研究中的应用8，9测井数据是迄今为止所能获得的分辨率最高、连续性最好的地质数据。其中蕴藏着丰富的地质信息，不同的测井数据在不同程度上记录着地质演化的历史，从不同侧面反映着地层形成演化的条件和影响因素，如海平面变化、古环境、古地理、古气候信息及其变化情况等。测井信号所提供的有关地层的各种岩性物理参数具有纵向分辨率高的特点，对研究地层多级别旋回性及识别地层信息多分辨突变具有优势。从主要根据测井曲线的形态和时间域(或深度域)来研究测井信号所反映的岩性及其组合信
9、息，到采用Fourier变换手段对其进行频域分析来研究地质旋回性，均在一定程度上解决了某些地质问题。然而由于测井信号的复杂性，使得擅长于平稳信号整体分析的Fourier变换的应用具有很大局限性。研究表明，小波变换能实现了信号分析的时频局部化、有效地从复杂多变的原始测井信号中识别提取出信号的时频特征，尤其是它能在多种尺度下，以多种分辨率对测井信号中的周期成分进行探测，原始测井信号经过小波变换后能清楚地将不同时间(深度)尺度的旋回展现出来，并探测到地层序列中更多不同级别的突变点或突变区域，这大大消除了利用原始测井曲线进行旋回性分析、突变面分析时的人为因素影响。利用大量测井资料实现层序地层学单元的自
10、动划分研究方面，目前虽已提出了许多方法，如方差分析法、活度函数分析法、有序最优化极差法等等，但与实际应用尚有差距。其主要原因是难以模拟“由粗到细逐级分层”的人工解释方法，往往在一个视觉层次上就完成了全部地层的划分工作，使地层的整体与局部信息混合在一起，难以分辨清楚。利用小波变换对测井曲线进行不同频率的分解，可以识别出不同级别的层序单元。不同的小波函数应选择不同的分解尺度，识别效果会最好。应用小波变换对测井曲线进行处理，克服了Fourier变换和窗式Fourier变换的单一分辨率及不能反映时域频域的局部性特征的缺点，具有研究地层中某一特定单元的优势。在层序地层研究中，该技术的应用起到了辅助层序地
11、层划分的作用，同时也推进了层序地层研究的定量化发展。2.4 小波变换在识别储层流体性质中的应用10测井曲线分析的主要目的之一是获得地层流体的性质。识别流体性质的常用方法包括：根据电阻率测井曲线应用阿尔奇公式计算地层含水饱和度及含油气饱和度，然后根据计算结果来判定地层含流体情况；利用中子、密度和声波孔隙度重叠的方法来解释含气地层；利用介电常数结合声波测井来识别地层流体；根据核磁共振测井资料差谱法，同样可以得出地层流体性质资料。但由于常规资料解释流体性质受孔洞、裂缝、泥质和横向探测深度等影响，解释结果的准确性有一定局限性。研究表明不同储集层中小波分析的能量谱特征不同，通过对已知储层模型进行小波能量
12、谱分析，可得到各种储层的特征能量谱，见图3。根据这些储层特征能量谱就可以对待划分的储层段进行储层流体性质判别。该方法从信号能量构成特征的角度认识储层流体性质，其主要步骤包括：建立能量谱特征识别库。为了建立小波分析能量谱与识别体之间的特定联系，就必须建立特征模型库，对模型库中的模型进行信号测量，通过对模型信号进行频谱能量分析，可以得出特定模型的特定能量谱特征； 对待识别体进行测量，得到其信号特征，对信号计算小波能量谱，这样，就得到了待识别体的能量谱分布特征，通过与能量谱特征识别库中的能量谱作对比分析，就可以对待识别体进行类型划分。应用能量谱特征来划分待识别流体类型的方法主要是主峰值特征分析法。主
13、峰值，即能量谱图中所有峰值中的最高峰值，主峰值分析法是根据对信号贡献最主要的频率成分随模型类型的变化而发生变化这一原则，通过对待识别体的主要频率成分进行分析来判断待识别体的类型，主要通过计算主峰曲线来完成。小波能谱分析法识别储层结果与实际试油结果吻合得相当好，符合率很高，是一种有效判别储层流体性质的方法。2.5 小波变换在储层识别与划分中的应用11研究表明，Mexican Hat小波函数在用连续小波变换将测井资料转换为小波系数，不同小波尺度对测井信号进行多分辨率处理方面比其它小波函数要好。由于小波系数与储层有很好的相关性：大尺度系数对应厚层响应，小尺度系数对应薄层响应，在实际应用中小波尺度以从
14、大到小的方式进行取值，这样用小波系数对储层进行识别和划分，能够取得很好的效果。该方法在储层划分，特别是在薄层和薄互层识别与划分方面具有迅速、准确的优点，见图4。从图中可以看出，小波系数在1548-1564m处的值低于零线，对应着一个油水同层。当a=7时，同样将零线标出，可以识别和划分出更小的储层。从图中还可以看出：大尺度对应着厚层，小尺度对应着薄层。实际应用中a的取值顺序是由大到小，储层的识别顺序也是由厚层到薄层，这样不但能够识别厚层也不会漏掉薄层，而且有快速、准确的优点。该方法主要步骤包括： 将待分析的测井数据由深度域转换为“时间域”，即按采样点的个数，顺序地将它们排列在坐标轴上； 选取适当
15、的小波函数对测井数据进行连续小波变换； 根据地质条件的不同，选取适合的尺度，得出相应的小波系数，并画出该尺度的小波系数曲线。在小波尺度的取值时，应该按由大而小的顺序，以识别各种厚度的储层。在应用中应尽可能的结合各种地质资料，如录井资料等，以保证储层划分准确无误。2.6 小波变换在地层对比中的应用12，13多井对比一般包含2个方面：(1)地层划分，即把地层整理出上、下顺序，划分出不同等级的地层单位，也就是把一个地区的地层从纵向进行划分；(2)地层对比，即把不同地区的地层横向进行比较。两者既有区别又有联系，在实际工作中两者往往交错进行。目前自适应多井对比技术成为关注点之一。自适应多井对比技术主要特
16、点包括： 利用已知井的标志层信息，提取该标志层的小波尺度信息，在该小波尺度信息的基础上得到一个小波尺度序列； 利用该小波尺度序列对未知标志层井段的测井信号进行相应的小波变换，对得到的变换序列利用奇异值点进行分割得到一组包含候选标志层的层段； 利用动态规划算法计算已知层序列和被分割序列的最佳匹配距离。在一系列小波尺度序列对应的最佳匹配距离中，必有一最小者，而该最小者对应的小波尺度即为对该井进行分层的最佳尺度，因此可以根据各个井测井信息的不同自动调整小波变换尺度参数、大大减少用户调整参数的工作量，避免人为的误差。该方法用于实际处理得到较好效果，基本解决了层位追踪中搜索窗宽的确定问题，即尺度参数 确定了标志层匹配的范围。2.7 小波变换在测井约束地震反演中的应用14-16
