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1、 本科毕业论文二阶常微分方程的解法及其应用 毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期： 毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解*学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校
2、可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。 作者签名： 指导教师签名： 日期： 日期： 注 意 事 项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。4.文字、图表要求：
3、1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它目 录1 引言5 2 二阶常系数常微分方程的几种解法5 2.1特征方程法52.1.1 特征根是两个实根的情形6 2.1.2
4、特征根有重根的情形6 2.2常数变易法8 2.3拉普拉斯变换法9 3 常微分方程的简单应用103.1 特征方程法11 3.2 常数变易法133.3 拉普拉斯变换法144 总结及意义15 参考文献16 二阶常微分方程的解法及其应用摘要：本文主要介绍了二阶常系数微分方程的三种解法：特征方程法、常数变异法和拉普拉斯变换法，并着重讨论了特征方程根为实根、复根及重根的情形。针对这三种解法的特点，分别将其应用到求解弹簧振子系统的振子的运动方程。关键词：二阶常微分方程;特征根法；常数变异法；拉普拉斯变换METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION
5、AND ITS APPLICATIONAbstract:This paper mainly introduces three kinds of solution for two order differential equation with constant coefficients: the characteristic equation method, the method of variation of constant and Laplasse transform method, and discusses the characteristics of Fang Chenggen i
6、s the real root, complex roots and root. According to the characteristics of the three solution, were applied to the equations of motion of vibrator for spring oscillator system.Keywords:second order ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transfo
7、rm1 引言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是数学分析里大部分思想和理论的根源。人所共知，常微分方程从它产生的那天起，就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具。常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。
8、关于它的解结构己有十分完美的结论，但其求解方法却各有不同，因此.二阶常系数线性微分方程的求解方法成为常微分方程研究的热点问题之一。而本文正是在这一背景下对于二阶常系数常微分方程的解法和应用做出研究。2 二阶常系数常微分方程的几种解法 通常来说，纵观二阶常系数常微分方程的解法来看，其中比较有代表性的是特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种解法，因为篇幅和个人能力有限，本文则选取这三种具备代表性的解法进行分析。2.1特征方程法 所谓特征方程，实际上就是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，它因研究对象的不同而不同，包括数列特征方程，矩阵特征方程，微分方程特征方程，积分方程特征方程等等。 求微
9、分方程的通解. 解 特征方程的根,(1)若这是两个不等实根,则该方程有两个实值解,故通解为 （为任意常数）.(2)若这两个根相等,则该方程有二重根,因此方程的通解具有形状 （为任意常数）.(3)若这两个根为共轭复根,则该方程的通解具有形状 （为任意常数）.数学的许多公式与定理都需要证明,下面本文给出上面前两个解答的理论依据.2.1.1 特征根是两个实根的情形 设是上面特征方程的两个不相等的实根,从而相应的方程有如下两个解, 我们指出这两个解在上线性无关,从而它们能够组成方程的基本解组.事实上,这时 , 而最后一个行列式是著名的范德蒙德（Vandermonde）行列式,它等于.由于假设,故此行列
10、式不等于零,从而,于是 线性无关,这就是所要证明的.而此方程的通解可表示为 （其中为任意数）. 如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将成对共轭出现.设是一特征根,则也是特征根,因而与这对共轭复根对应的,方程有两个复值解 , . 根据定理可知,复值解的实部和虚部也是方程的解.这样一来,对应于特征方程的一对共轭复根,我们可求的方程的两个实值解 .2.1.2 特征根有重根的情形 设特征方程有重根则众所周知 , 先设,即特征方程有因子,于是 , 也就是特征方程的形状为 , 而对应的方程变为 . 易见它有个解1,而且它们是线性无关的.这样一来,特征方程的重零根就对应方程的个线性无关的解1,.
11、如果这个重根,我们作变量变换,注意到 ，可得 ,于是对应方程化为 , 其中仍为常数,而相应的特征方程为 , 直接计算易得 ,因此 ,从而 ，,这样,问题就化为前面讨论过的情形了.2.2常数变易法常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法,常应用于一阶线性微分方程的求解。在常数变易法中，通过将常数C放入当中就可以得到非齐次线性方程的通解。它是拉格朗日十一年的研究成果，我们所用仅是他的结论，并无过程。它是连接非齐次线性微分方程与相应的齐次线性微分方程的桥梁。对于二阶常系数非线性常微分方程的解法,只要先求出其一个特解,再运用特征方程法求得方程的通解.求常微分方程 的通解. 解 方程对应齐次方程为 ,
12、其特征方程为 . 由于方程的通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解与其自身的一个特解之和，而二阶常系数齐次线性微分方程的通解我们已经研究过了,所以此处只需求出其一个特解. 若为上面方程的实根,则是方程的解.由常数变易法设的一个解为,代入原方程并化简得 , 这是关于 的一阶线性微分方程,其一个特解为,从而得上面方程的一个特解为. 若为上面方程的复根,我们可以设且，则是方程的解，根据常数变易法可设其一个特解为，与情形1的解法类似得方程的一个特解为由于是特解,则积分常量可以都取零.2.3拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是工程数学中常用的一种积分变换法，又名拉氏转换法。拉氏变换法是一个线性变换法，可将一个有因数实数的函数转换为一个因数为复数s的函数。有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控
