行列式的例题.doc

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1、行列式的例题一直接用行列式的性质计算行列式1试证明证明:先用行列式的加法性质拆第一列,再用初等变换化简得 =右2计算n阶行列式解:当n=1时,D1=a1+b1 , 当n=2时,D2=(a1+b1)(a2+b2)-(a1+b2)(a2+b1) =(a1-a2)(b1-b2)当n3时,将第一行乘(-1)加到其余各行后,可得这些行对应成比例,即综上所述 。3 n阶行列式D中每一个元素aij分别用数bi-j(b0)去乘得到另一个行列式D1 ,试证明D1=D 。 证明: 首先将行列式D的每行分别提出b1,b2,bn,再由每列分别提出b-1,b-2,b-n可得 4已知求(1)A51+2A52+3A53+4

2、A54+5A55;(2)A31+A32+A33及A34+A35 。解:由行列式的性质可知 (1) A51+2A52+3A53+4A54+5A55=(2)5A31+5A32+5A33+3A34+3A35 =2A31+2A32+A33+A34+A35 =解出A31+A32+A33=0,A34+A35 =0 。二利用行列式的性质化为上(下)三角形行列式计算1 计算n阶行列式解:(解法1) 依次按第i列的x倍加到第i-1列去(i=n,n-1,2),再将最后1行依次换到第一行得= xn+a1xn-1+an .(解法2) 直接按第n行展开Dn=an(-1)n+1(-1)n-1+an-1(-1)n+2x(-

3、1)n-2+(-1)n+n(a1+x)xn-1=an+an-1x+a1xn-1+xn(解法3)递推法,按第一列展开得 Dn=xDn-1+an(-1)n+1(-1)n-1=xDn-1+an = x(Dn-2+an-1)+an= xn-1D1+a2xn-2+an = xn-1(a1+x)+a2xn-2+an = xn+a1xn-1+a2 xn-2+an 。2计算n阶行列式。解:依次将第i行乘(-1)加到第i+1行(i=n-1,n-2,1),再将第2,3,n 列全加到第1列。 再将n-1阶行列式的第1行乘(-1)加到其余各行后,将第1,2,n-2列全加到第n-1列,得=n(n+1)/2 (-1) (

4、n-1)(n-2)/2(-n)n-2(-1)= n(n+1)/2 (-1)(n-1)n/2 nn-2三利用递推法计算行列式1 计算n阶行列式解: 将行列式按第n列展开,可得 =xDn-1+ayn-1Dn= xDn-1+ayn -1=x(xDn-2+ayn-2)+ ayn-1=xn-1D1+ayn -1+ayn-2x+ +ayxn-2=xn+a(xn-1+xn-2y+xyn-2+yn-1)注:此题可按第一行展开即得结果。2 计算n阶行列式解: 将行列式按第一行展开,可得Dn=(a+)Dn-1 - aDn-2Dn-aDn-1 = (Dn-1 - aDn-2)=2(Dn-2 - aDn-3)= =

5、n-2(D2 -aD1)D1=a+ , D2 = (a+)2 a ,Dn-aDn-1 = n , Dn-1 - aDn-2 = n-1 , , D2 - aD1 = 2,将上述n-1个子式分别乘1 , a , a2, ,an-2后再相加得Dn = an-1D1 + n +a n-1 + + an-2 2 = an+an-1 +an-2 2 + + a n-1+ n .四利用范德蒙行列式计算和证明1 计算n阶行列式。解: 把Dn+1的第n+1行换到第1行,第n行换到第2行,同时将Dn+1的第n+1列换到第1列,第n列依次换到第2列,再有范德蒙行列式,得 。2 已知方程,求x 。解:由行列式的加法

6、性质,原方程可化为 =(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0得x=1或x=2或x=3。五行列式的应用1 证明三条不同的直线ax+by+c=0 , bx+cy+a=0 , cx+ay+b=0 相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0。 证明 先证“必要性”:设三直线交于一点,即方程组 有一解(x0 ,y0 ,1),即方程组有非零解,由克莱姆法则知即 =(a+b+c)(c-b)(b-c)-(a-c)(a-b)=(a+b+c)(ab+ac+bc-a2-b2-c2)= - (a+b+c)/ 2(a-b)2 +(b-c)2 +(a-c)2)=0当a=b=c时等号成立,这时与三直线互异矛盾。故只能a+b+c=0 .再证“充分性”:当a+b+c=0时,即有非零解,不妨取(x0 ,y0 ,1),所以三直线有交点,而三直线互异,故必有唯一交点。2 求一个一元二次多项式f(x),使满足f(1)=0,f(2)=3,f(-3)=28 。解: 设所求多项式为f(x)=ax2+bx+c ,由条件f(1)=0,f(2)=3,f(-3)=28知,成立线性方程组这时,由克莱姆法则,得a=2,b= -3,c=1,知f(x)=2x2 - 3x+1。

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