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1、一、课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分）主要针对一维（直杆）问题，撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的数学、力学基础和基本思想；2）有限元法求解的原理和过程，推导所有计算列式；对基本概念和符号进行解释和讨论；3）收敛性、收敛准则及其数学、力学意义的讨论。弹性力学有限元位移法原理一、 有限单元法的起源有限单元法的形成可以追溯到20世纪50年代甚至更早些时间，基本思路来源于固体力学中矩阵位移法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。对不同结构的杆系、不同的载荷，用矩阵位移法求解都可以得到统一的公式。在1952-1953
2、年期间，RWClough和MJTurner在分析飞机三角翼振动问题时，提出了把平面应力三角形或矩形板组合起来表达机翼刚度的方法，当时被称为直接刚度法。1956年MJTurner，RWClough，HCMartin，LJTopp在纽约举行的航空学会年会上发表论文Stiffness and deflection analysis of complex structures(复杂结构的刚度和变形分析)介绍了这种新的计算方法，从而将矩阵位移法推广推广到求解弹性力学平面应力问题。它们把平面板壳结构划分为一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与结点位移关系的单元刚度矩阵。19
3、60年，RWClough在论文The finite element in plane stress analysis(平面应力分析的有限元法)中首次提出了有限单元（Finite Element）这一术语，他也因此被称为“有限单元之父”二、 有限元法的基本思想有限元法是一种结构分析的方法，正如OCZienkiewicz所说的：“人类思维的限制在于不能通过一步运算就掌握复杂环境和事物的行为。因此，先把所有系统分解为它们的元件或单元，这些元件的行为已经被充分的了解，再把元件重新组装成原来的系统来研究系统的行为”。可以看出有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组由有限个单元组成并按一定方式相互连
4、接在一起的单元组合体来加以分析。三、 有限单元法的数学基础当有限单元法成功的应用于求解弹性力学平面问题之后，下一步要解决的问题就是能否把这种方法应用于求解其他连续介质问题。在寻找连续介质问题近似算法的时候，数学家们发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。四、 有限元分析的基本步骤 建立研究对象的近似模型 将研究对象分割成有限数量的单元 用标准方法对每一个单元提出一个近似解 将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统 用数值方法求解这个近似系统 计算结果处理与结构验证五、 一维杆的有限位移法分析本文以一维直杆的分析为例子，研究有限元位移法基本原理和求解过程。 虚
5、位移原理推到一维直杆单元的刚度方程如下图所示一维直杆，已知直杆杆长为L，横截面积为A，材料弹性模量为E，所受轴向分布载荷集度为q(x)。杆端位移分别记为ui，uj，杆端力分别记为Si，Sj。Aq(x)ijSiSjuiujxa设局部坐标系下杆中A点的坐标为xa，因为只有两个边界条件ui，uj，因此杆轴任意一点（例如A点）的位移可假设为 式中 a，b为待定常数。它们可由杆端位移条件来确定： 将式代入式可得： 若引入无量纲变量： 则式（3）可改写成： 式中称为形函数，矩阵N称作形函数矩阵；矩阵ue称为杆端位移矩阵或节点位移矩阵。由式（4）可以看出，形函数具有如下性质：1、 本端为1，它端为零 2、
6、任意一点总和为1 现采用虚位移原理给出该杆单元的特性公式，设杆端i，j分别产生虚位移，由此引起的单元内任意一点的虚位移为：又式中 B为应变矩阵。由此可得 又根据虚位移原理：对任意虚位移，外力所做的总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功，即 所以有由 可得：即若记称为该杆单元等效节点载荷；局部坐标单元刚度矩阵。所以可得单元刚度方程：式中单元刚度矩阵的显式为：可见单元刚度矩阵具有对称性。即单元刚度矩阵的每一个元素可写成 将一维直杆离散为三个单元进行分析现考虑下图所示一维直杆：长度为L，分为三个单元，每个单元长度为h1，h2，h3；对于单元，节点位移分别为u1，u2，对应形函数为N1，N2；由得：又对
7、于单元、，形函数N1=0；对单元，形函数N2=0；对单元，形函数N3=0；对于单元、，形函数N4=0。因此可得：式中分别对应于单元，。且对于单元，对于单元，对于单元，所以所以单元整体刚度矩阵整体单元刚度矩阵元素的物理意义为：j节点在x方向产生单位位移时，在节点i上需施加的节点力。又由单元等效节点载荷可得：每一节点等效载荷分别为：又对于单元、，形函数N1=0；对单元，形函数N2=0；对单元，形函数N3=0；对于单元、，形函数N4=0。所以有：以上四式可写为：式中：，表示单元e的形函数；在本例子中，e=1、2、3，k=1、2；而且有he 表示单元长度。所以有由单元刚度方程可得：例：假设A, E,
8、L, a, 和 R 都等于1。且，则有，x1 = 0, x2 = 1 / 3, x3 = 2 / 3, x4 = 1,由整体单元刚度方程得：对于单元e（e=、）可写出其位移函数：应变为：由 得每个单元的应力：下图1和图2分别表示有限元解和精确解的比较：图1 位移对比图2 应力对比二、分析与计算（40分）1、图示两个结构和单元相似，方位相同的平面应力有限元模型，两模型的单元厚度和材料相同。两个模型右端单元边上受均匀剪切面力。对于下列2种情况，试根据有限元法和力学有关知识来分析两个模型求解后对应节点的位移值和对应单元的应力值之间的关系：1）两个模型面力的合力相等；2）两个模型面力的集度相等。（10
9、分）解：建立坐标系如图所示，对（a）图，各节点坐标点号x坐标y坐标点号x坐标y坐标1400420202402050032006020单元节点信息数组可记为单元，面积，由式 （a）可得 由式（b），单元几何矩阵为为了计算简便，可设=0且为单位厚度，弹性矩阵大为简化，由式，可得由式（c），得单元的应力矩阵由式（d），单元的单元刚度矩阵为根据单元刚度矩阵的性质可得对（b）各节点坐标点号x坐标y坐标点号x坐标y坐标1200410102201050031006010单元节点信息数组可记为：单元，面积，由式（a）可计算出由式（b），单元几何矩阵为由式（c）得单元的应力矩阵由式（d）得单元的单元刚度矩阵同理
10、由单元刚度矩阵的性质可得综上可知，两个模型中的单元刚度矩阵均相同，所以它们的总刚度矩阵也相同，即 当两个模型面力的合力相等，它们的载荷列阵都为位移列阵为形成整体平衡方程 K=F位移约束条件为，将此约束条件引入整体刚度方程，对其用“化一置零法”处理。即由上式可知在这种情况下，两种模型求解后对应节点的位移相等。有整体节点位移获取单元节点位移，所以对应的单元节点位移也相等。以单元为例，两种模型应力矩阵的关系，又由可得，模型（b）中单元的应力是模型（a）的2倍，其它单元可得到类似的结论。当两个模型面力的集度相等，可设模型（a）右端受剪力的合力为2P，模型（b）右端受剪力的合力为P，则两种模型的载荷列阵
11、分别为由上述内容可得，进而可知（a）模型中对应节点的位移是（b）模型的2倍。在单元中，所以由可知模型（a）和模型（b）中单元的应力相等，其他单元可类似说明。2、证明平面问题三节点三角形单元发生刚体位移（小位移平动和转动）时，单元中将不产生应力。（10分）证明：三节点三角形单元位移模式选取一次多项式： （1）在（1）的1式中带入节点的坐标得到节点i在x向的位移，同理可得， （2）解（2）式可得到广义坐标由节点位移表示的表达式： （3） 将求解的广义坐标（3）式代入（1）式，可将位移函数表示成节点位移的函数 （4） 式中 （5）上式中式（4）写成矩阵形式为 确定了刚体位移后，可以很方便的求得单元的
12、应变和应力。由此可知，单元应变 （7）称为应变矩阵，L是平面问题的微分算子。应变矩阵B的分块矩阵 （8） 对（5）式求导得： （9）代入（8）式得到： （10）三节点单元应变矩阵是 （11） 式中是单元形状的参数。当单元节点坐标确定后，这些参数都是常数，因此B是常量阵。当单元的节点位移确定后，由B转换求得的单位应变都是常数，也就是说在载荷作用下单元中各节点具有同一的值，值及值。因此，三节点三角形单元称为常应变单元。应变应力可根据物理方程求得： （12） 其中成为应力矩阵。将平面应力弹性矩阵及式（11）代入式（12）可以得到计算平面应力问题的单元应力矩阵。的分块矩阵为 （13） 其中为材料常数。对于平面应力问题与应变矩阵B相同，应力矩阵S也是常量阵，即三节点三角形单元中各节点的应力是相同的。因此，平面问题三节点三角形单元发生刚体位移（小位移平动和转动）时，单元中将不产生应力。3、证明20节点六面体等参元在Jacobi行列式为常数
