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1、 第一节三角函数的基本概念（一）知识体系（二）知识点解析1.角的概念的推广（1）按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何旋转所形成的角叫零角.（2）终边相同的角：如果是一个任意的角，与它终边相同的所有角可表示为k360+，kZ，终边相同的角的集合=k360+，kZ，（3）象限角以及轴线角（终边在坐标轴上的角）象限角：第一象限的角表示为k360k360+90，kZ；第二象限的角表示为k360+90k360+180，kZ；第三象限的角表示为k360+180k360+270，kZ；第四象限的角表示为k360+270k360+360，kZ；或k36090k360，k
2、Z.轴线角：终边在x轴正半轴上的角的集合：=k360，kZ；终边在x轴负半轴上的角的集合：=k360+180，kZ；终边在x轴上的角的集合：=k180，kZ；终边在y轴正半轴上的角的集合：=k360+90，kZ；终边在y轴负半轴上的角的集合：=k360+270，kZ；终边在y轴上的角的集合；=k180+90，kZ；终边在坐标轴上的角的集合：=k90，kZ.（4）区间角：锐角：（0，90），钝角：（90，180），注意区间（，）与（k360+，k360+）的区别.【说明】（1）角的集合的表示形式不是唯一的，如终边在y轴的负半轴上的角的集合可用如下两种形式来表示：xx=2k，kZ，xx=2k+，k
3、Z（2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.（3）在讨论角的范围时，不要遗漏坐标轴上的角0，角终边所在的位置与终边的位置及k的取值有关，要对k的取值结合的情况进行讨论. 2.角的度量（1）角度制：周角的叫做1度角，用度、分、秒作量角单位的制度叫角度制.（2）弧度制：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角，用弧度作量角单位的制度叫弧度制.（3）角度制与弧度制间的换算关系180=（弧度），1弧度=（）5718.（4）弧长l、半径r与其所对的圆心角的弧度数之间的关系为：=.扇形面积S=lr.【说明】（1）在角的表示中注意角度制和弧度制不能在同一表示中使用，如：=2k+(kZ)，就不能写
4、成=k360+，也不能写成=2k+45(kZ)；如果以原点为端点的射线为终边的角可表示为2k+，则以过原点的直线为终边的角表示为k+(kZ)（2）公式=中，左边是的绝对值，不要误用为=.（3）引进弧度制后，使得角的集合与实数集之间建立一一对应的关系，这就为三角函数利用坐标方法定义奠定了基础.由任意角三角函数的定义，可以推衍出各三角函数的一系列性质以及它们之间的联系.3.任意角的三角函数（1）定义：设P的坐标为（x，y），它到原点的距离为r(r0)，那么的六个三角函数定义为：正弦函数sin=，余弦函数cos=，正切函数tan=，余切函数cot=，正割函数sec=，余割函数csc=.（2）正弦、余
5、弦、正切、余切函数的定义域和值域.解析式y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx定义域RRxxk+，kZxxk，kZ值域-1，1-1，1RR（3）三角函数值的符号（4）三角函数线正弦线余弦线正切线如左图，终边与单位圆交于P，过P作PM垂直x轴，有向线段MP即为正弦线.如左图，有向线段OM即为余弦线.如左图，过（1，0）作x轴的垂线，交的终边或终边的反向延长线于T，有向线段AT即为正切线.三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值.【说明】（1）在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数
6、值是唯一确定的（除不存在的情况）；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.如=0，sin0=0，反过来，sin=0，=k360或=k360+180.（kZ）（2）单位圆中的三角函数线使三角函数具有几何直观、数形结合的特点，对解很多三角函数问题都有帮助.例如，画出第一象限角的正弦线、余弦线和正切线立即可得出以下一些结论：由ATMP，知tansin；OM+MPOP，知sin+cos1；当=45时sin=cos；当45时，MPOM，sincos；当45时，MPOM，sincos；在第一象限中，正弦函数是增函数，而余弦函数是减函数等，同时，利用正弦线和余弦线可以分别画出正弦函数和余弦函数的图
7、像.（3）求函数的定义域通常是解不等式组和用“数形结合”，借助于数轴画成求交集的方法进行.求三角函数的定义域，同样可利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，或作出三角函数的图像，求表示各三角不等式解集的区域的交集来完成.注意：三角函数本身的特征和性质.（4）三角函数值的大小仅与角有关，而与终边上所取的P点的位置无关，当角的终边所在象限不确定时，要分情况讨论.（三）常用性质及结论1.半角所在的象限如果角为第一象限的角，则/2为图中1和它的对顶部分，即第一或第三象限的角；如果角为第二象限的角，则/2为图中2和它的对顶部分，即第一或第三象限的角；如果角为第三象限的角，则/2为图中3和它的对顶部分，
8、即第二或第四象限的角；如果角为第四象限的角，则/2为图中4和它的对顶部分，即第二或第四象限的角.2.若x为锐角，则sinxxtanx题型一：有关角的概念问题例1：已知集合:A=|=，nZB=，nZ，问集合A与B的关系如何？练习：下面四个命题中正确的是（）A.第一象限角必是锐角 B.锐角必是第一象限的角C.终边相同的角必相等 D.第二象限的角必大于第一象限角例2：已知是第二象限的角（）指出所在的象限，并用图形表示其变化范围（）若同时满足条件+24，求的取值区间.【说明】在三角函数的学习中，经常会遇到由角所在象限确定所在象限的一类问题.解答此类问题的一般方法是：先将所在象限用不等式表示出来，再对不
9、等式中的整数进行分类讨论便可得的范围.尽管这种方法思路清晰、目标明确，但解题过程冗长，而且分类不当会导致解题失误.下面介绍一种快速判断所在象限的方法等分象限法.将各个象限n等分，从第一象限离x轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注数码1、2、3、4，直到将所有区域标完为止.如果在第几象限，则就在图中标号为几的区域内.下图（1）表示的是求的方法，图（2）表示的是求的方法.练习：若为第一象限角，则能确定为正值的是（）A.sin B.cosC.tan D.cos2题型二：任意角的三角函数的定义例3：已知锐角终边上的一点坐标是，则 （ ） 【说明】考察三角函数的定义及应用，根据三角函数的定义，用坐标表
10、示各种三角函数值，将三角函数的运算转化为坐标的运算.练习：、是第二象限角，P（x，）为其终边上一点且cos=x，则x的值为A.B.C.D.题型三：三角函数的符号问题例4：（1）若sin20且cos0，试确定所在的象限.（2）已知为第三象限角，判定sin(cos)cos(sin)的值的符号.练习已知sin=，cos =，那么的终边在A.第一象限B.第三或第四象限C.第三象限D.第四象限题型四：有关弧度制问题例5：根据下列已知条件，解决扇形有关问题：（1）已知扇形的周2长为10cm，面积为4cm2，求扇形的中心角.（2）已知一扇形的周长是40cm，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？
11、最大面积是多少？方法小结1.要确定角所在的象限，只要把表示为=2k+0（kZ，002），由0所在象限即可判定出所在的象限，由已知角的范围求复合角的范围时，通常要用不等式的性质来解决，切忌扩大角的范围.2.扇形的弧长公式l=r和面积公式S=lr，是解决有关圆锥问题的有效工具.3.已知角的终边上一点坐标可利用三角函数的定义求三角函数的值，但注意可能情况的讨论.4.三角函数值的符号在求角的三角函数值及三角恒等变形问题中，显然十分重要.根据三角函数的定义，可简记为：正弦、余割，上正下负；余弦、正割、右正左负.（一）选择题1.给出下列四个命题：（1）如果，那么sinsin，（2）如果sinsin，那么，
12、（3）如果sin0，那么是第一或第二象限角，（4）如果是第一或第二象限角，那么sin0这四个命题中，错误的命题有（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解】当=30，=150时，虽然，但此时有sin=sin，故命题（1）不正确；而（2）的逆否命题为=则sin=sin是正确的，从而（2）正确；对于命题（3），可知除一、二象限外，还可能是终边在y的正半轴上的角，从而（3）不正确；而命题（4）显然成立，故错误的命题有2个.2.已知tanxcosx0且cotxsinx0那么x在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解】tanxcosx=sinx0x、象限；cotxsinx=cosx0x、象限，故选B.3.设是第二象限的角，则-，-，+所在的象限分别是（）A.三、一、四B.一、二、四C.三、四、一D.三、二、一【答案】A【解】【解法一】为第二象限角，2k+SX(2SX)2k+（kZ）.则（）-2k-2k-SX(2SX)（kZ
