第一节三角函数的基本概念（一）知识体系（二）知识点解析1.角的概念的推广（1）按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何旋转所形成的角叫零角.（2）终边相同的角：如果α是一个任意的角，与它终边相同的所有角可表示为k·360°+α，k∈Z，终边相同的角的集合{β｜=k·360°+α，k∈Z}，（3）象限角以及轴线角（终边在坐标轴上的角）①象限角：第一象限的角表示为{α｜k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}；第二象限的角表示为{α｜k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z}；第三象限的角表示为{α｜k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z}；第四象限的角表示为{α｜k·360°+270°＜α＜k·360°+360°，k∈Z}；或{α｜k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z}.②轴线角：终边在x轴正半轴上的角的集合：{α｜α=k·360°，k∈Z}；终边在x轴负半轴上的角的集合：{α｜α=k·360°+180°，k∈Z}；终边在x轴上的角的集合：{α｜α=k·180°，k∈Z}；终边在y轴正半轴上的角的集合：{α｜α=k·360°+90°，k∈Z}；终边在y轴负半轴上的角的集合：{α｜α=k·360°+270°，k∈Z}；终边在y轴上的角的集合；{α｜α=k·180°+90°，k∈Z}；终边在坐标轴上的角的集合：{α｜α=k·90°，k∈Z}.（4）区间角：锐角：（0°，90°），钝角：（90°，180°），注意区间（α，β）与（k·360°+α，k·360°+β）的区别.【说明】（1）角的集合的表示形式不是唯一的，如终边在y轴的负半轴上的角的集合可用如下两种形式来表示：{x｜x=2kπ－，k∈Z}，{x｜x=2kπ+，k∈Z}（2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.（3）在讨论角的范围时，不要遗漏坐标轴上的角0°，角终边所在的位置与α终边的位置及k的取值有关，要对k的取值结合α的情况进行讨论. 2.角的度量（1）角度制：周角的叫做1度角，用度、分、秒作量角单位的制度叫角度制.（2）弧度制：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角，用弧度作量角单位的制度叫弧度制.（3）角度制与弧度制间的换算关系180°=π（弧度），1弧度=（）°≈57°18′.（4）弧长l、半径r与其所对的圆心角的弧度数α之间的关系为：｜α｜=.扇形面积S=lr.【说明】（1）在角的表示中注意角度制和弧度制不能在同一表示中使用，如：α=2kπ+(k∈Z)，就不能写成α=k·360°+，也不能写成α=2kπ+45°(k∈Z)；如果以原点为端点的射线为终边的角可表示为2kπ+θ，则以过原点的直线为终边的角α表示为kπ+θ(k∈Z)（2）公式｜α｜=中，左边是α的绝对值，不要误用为α=.（3）引进弧度制后，使得角的集合与实数集之间建立一一对应的关系，这就为三角函数利用坐标方法定义奠定了基础.由任意角三角函数的定义，可以推衍出各三角函数的一系列性质以及它们之间的联系.3.任意角的三角函数（1）定义：设P的坐标为（x，y），它到原点的距离为r(r＞0)，那么α的六个三角函数定义为：正弦函数sinα=，余弦函数cosα=，正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数secα=，余割函数cscα=.（2）正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域.解析式y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx定义域RR{x｜x≠kπ+，k∈Z}{x｜x≠kπ，k∈Z}值域［-1，1］［-1，1］RR（3）三角函数值的符号（4）三角函数线正弦线余弦线正切线如左图，α终边与单位圆交于P，过P作PM垂直x轴，有向线段MP即为正弦线.如左图，有向线段OM即为余弦线.如左图，过（1，0）作x轴的垂线，交α的终边或α终边的反向延长线于T，有向线段AT即为正切线.三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值.【说明】（1）在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的（除不存在的情况）；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.如α=0°，sin0°=0，反过来，sinα=0，α=k·360°或α=k·360°+180°.（k∈Z）（2）单位圆中的三角函数线使三角函数具有几何直观、数形结合的特点，对解很多三角函数问题都有帮助.例如，画出第一象限角的正弦线、余弦线和正切线立即可得出以下一些结论：①由AT＞MP，知tanα＞sinα；②OM+MP＞OP，知sinα+cosα＞1；③当α=45°时sinα=cosα；当α＜45°时，MP＜OM，sinα＜cosα；当α＞45°时，MP＞OM，sinα＞cosα；④在第一象限中，正弦函数是增函数，而余弦函数是减函数等，同时，利用正弦线和余弦线可以分别画出正弦函数和余弦函数的图像.（3）求函数的定义域通常是解不等式组和用“数形结合”，借助于数轴画成求交集的方法进行.求三角函数的定义域，同样可利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，或作出三角函数的图像，求表示各三角不等式解集的区域的交集来完成.注意：三角函数本身的特征和性质.（4）三角函数值的大小仅与角有关，而与终边上所取的P点的位置无关，当角的终边所在象限不确定时，要分情况讨论.（三）常用性质及结论1.半角所在的象限如果角α为第一象限的角，则α/2为图中1和它的对顶部分，即第一或第三象限的角；如果角α为第二象限的角，则α/2为图中2和它的对顶部分，即第一或第三象限的角；如果角α为第三象限的角，则α/2为图中3和它的对顶部分，即第二或第四象限的角；如果角α为第四象限的角，则α/2为图中4和它的对顶部分，即第二或第四象限的角.2.若x为锐角，则sinx＜x＜tanx题型一：有关角的概念问题［例1］：已知集合:A={α|α=，n∈Z}B={β｜β=，n∈Z}，问集合A与B的关系如何？练习：下面四个命题中正确的是（）A.第一象限角必是锐角 B.锐角必是第一象限的角C.终边相同的角必相等 D.第二象限的角必大于第一象限角［例2］：已知α是第二象限的角（Ⅰ）指出所在的象限，并用图形表示其变化范围（Ⅱ）若α同时满足条件｜α+2｜≤4，求α的取值区间.【说明】在三角函数的学习中，经常会遇到由角α所在象限确定所在象限的一类问题.解答此类问题的一般方法是：先将α所在象限用不等式表示出来，再对不等式中的整数进行分类讨论便可得的范围.尽管这种方法思路清晰、目标明确，但解题过程冗长，而且分类不当会导致解题失误.下面介绍一种快速判断所在象限的方法——等分象限法.将各个象限n等分，从第一象限离x轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注数码1、2、3、4，直到将所有区域标完为止.如果α在第几象限，则就在图中标号为几的区域内.下图（1）表示的是求的方法，图（2）表示的是求的方法.练习：若θ为第一象限角，则能确定为正值的是（）A.sin B.cosC.tan D.cos2θ题型二：任意角的三角函数的定义［例3］：已知锐角终边上的一点坐标是，则 （ ） 【说明】考察三角函数的定义及应用，根据三角函数的定义，用坐标表示各种三角函数值，将三角函数的运算转化为坐标的运算.练习：、α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点且cosα=x，则x的值为A. B.± C.－ D.－题型三：三角函数的符号问题［例4］：（1）若sin2α＞0且cosα＜0，试确定α所在的象限.（2）已知θ为第三象限角，判定sin(cosθ)·cos(sinθ)的值的符号.练习已知sin=，cos =－，那么α的终边在A.第一象限 B.第三或第四象限C.第三象限 D.第四象限题型四：有关弧度制问题［例5］：根据下列已知条件，解决扇形有关问题：（1）已知扇形的周2长为10cm，面积为4cm2，求扇形的中心角.（2）已知一扇形的周长是40cm，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？方法小结1.要确定角α所在的象限，只要把α表示为α=2kπ+α0（k∈Z，0≤α0＜2π），由α0所在象限即可判定出α所在的象限，由已知角的范围求复合角的范围时，通常要用不等式的性质来解决，切忌扩大角的范围.2.扇形的弧长公式l=｜α｜r和面积公式S=lr，是解决有关圆锥问题的有效工具.3.已知角的终边上一点坐标可利用三角函数的定义求三角函数的值，但注意可能情况的讨论.4.三角函数值的符号在求角的三角函数值及三角恒等变形问题中，显然十分重要.根据三角函数的定义，可简记为：正弦、余割，上正下负；余弦、正割、右正左负.（一）选择题1.给出下列四个命题：（1）如果α≠β，那么sinα≠sinβ，（2）如果sinα≠sinβ，那么α≠β，（3）如果sinα＞0，那么α是第一或第二象限角，（4）如果α是第一或第二象限角，那么sinα＞0这四个命题中，错误的命题有（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解】当α=30°，β=150°时，虽然α≠β，但此时有sinα=sinβ，故命题（1）不正确；而（2）的逆否命题为α=β则sinα=sinβ是正确的，从而（2）正确；对于命题（3），可知α除一、二象限外，α还可能是终边在y的正半轴上的角，从而（3）不正确；而命题（4）显然成立，故错误的命题有2个.2.已知tanx·cosx＞0且cotx·sinx＜0那么x在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解】tanx·cosx=sinx＞0x∈Ⅰ、Ⅱ象限；cotx·sinx=cosx＜0x∈Ⅱ、Ⅲ象限，故选B.3.设α是第二象限的角，则-α，π-α，π+α所在的象限分别是（）A.三、一、四B.一、二、四C.三、四、一D.三、二、一【答案】A【解】【解法一】∵α为第二象限角，∴2kπ+[SX(]π[]2[SX)]＜α＜2kπ+π（k∈Z）.则（ⅰ）-2kπ-π＜α＜-2kπ-[SX(]π[]2[SX)]（k∈Z。