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1、抛物线的概念和方程一、抛物线的定义：平面内与一定点的距离和一定直线（不在上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。二、抛物线的标准方程：图象方程焦点准线三、抛物线的性质：对于四种抛物线的标准方程，我们可以主要研究方程的性质，然后其余三种可以类似地讨论研究。(1) 顶点：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点；(2) 焦点与准线： ；(3) 范围：；(4) 对称性：关于轴对称。例题1：(1) 抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点距离为8，求抛物线的方程，的值，焦点坐标，准线方程。强调：定义法。解：设抛物线的方程为：，抛物线上一点到焦点距离为
2、8，则P到准线的距离也是8，故,焦点（0，2），准线方程为。(2) 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点，求抛物线的标准方程。(3) 求到定点的距离，比到定直线的距离小1的点的轨迹方程。解：（1）经过点的抛物线可能有两种标准形式：或点坐标代入，得；点坐标代入，得；所求抛物线的标准方程是：或。（2）动点到的距离比它到的距离小1，就是到与到直线的距离相等。由抛物线定义，所求轨迹方程为。例题2：(1) P为抛物线上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ B ）相交 相切 相离 位置由P确定解：如图，抛物线的焦点为，准线是.作PH于H，交y轴于Q，那么，且.作MNy轴于N， 则MN是梯
3、形PQOF的中位线，以PF为直径的圆与y轴相切，选B。（2）以抛物线过焦点的弦为直径的圆，与此抛物线的准线的位置关系是 。相切解：设抛物线的准线为，过A、B两点分别作AC、BD垂直于，垂足分别为C、D。取线段AB中点M，作MH垂直于H。由抛物线的定义有：ABDC是直角梯形即为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故本题得证。（3）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为则（ ）A、45 B、60 C、90 D、120解：如图，由抛物线的定义知：则，由题意知： ，即，故选C。例题3：动圆与定直线相切且与定圆外切，求动圆圆心的轨迹方程。例题4：设P是抛
4、物线上的一个动点。(1) 求点P到点的距离与点P到直线的距离之和的最小值；(2) 若，求的最小值；(3) 已知直线和直线，求到直线和直线的距离之和的最小值。解：（1）易知抛物线的焦点为F（1，0），准线是，由抛物线的定义知：点P到直线的距离等于点P到焦点F的距离。于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小，显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为，即为。（2）自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点，则，则有，即的最小值为4。（3）解析：直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个
5、点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即。例题5：已知抛物线对称轴上有一点，在抛物线上求一点，使最小，并求这个最小值。解：设抛物线上任一点，则 课堂练习：练习1：1、已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点距离为5，求的值。解：设抛物线方程为，准线方程：，点M到焦点距离与到准线距离相等，解得：抛物线方程为，把代入得：。练习2：已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时, M点坐标是 ( )A. B. C. D. 解析 设M到准线的距离为,则，当最小时，M点坐标是，选C练习3：过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则 （ ）8练习4：过定点作直线交轴于点，过点作交轴于点，延长至点，使，则点的轨迹方程是 。 提示：消参法。练习5：已知，点的坐标为，点、分别在图中抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，那么的周长的取值范围为
