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1、第23章解直角三角形231锐角的三角函数第1课时锐角的三角函数教学目标【知识与技能】1了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sin A、cos A、tan A表示直角三角形中两边的比2理解坡度的概念，并能够计算坡面的坡度【过程与方法】通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用【情感、态度与价值观】1通过学习培养学生的合作意识2通过探究提高学生学习数学的兴趣重点难点【重点】锐角三角函数的概念，坡比的概念【难点】锐角三角函数概念的理解教学过程一、创设情境，导入新知师：高架桥的起始一段有倾斜的部分，这个坡面的坡度或者说倾斜程度是怎样度量的呢？学生思
2、考二、共同探究，获取新知1正切的概念教师多媒体课件出示：如图中，有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水平面，斜边AB与A1B1 分别表示两个不同的坡面，坡面AB和A1B1哪个更陡？你是怎样判断的？生：A1B1更陡师：你是怎样判断的呢？生甲：这两个中同样是100的一段，对应的高度A1B1上升得多生乙：(2)倾斜得厉害教师多媒体课件出示：师：这个图里，你能判断坡面AB和A1B1哪个更陡吗？学生观察后回答：A1B1更陡教师质疑，学生思考、交流教师多媒体课件出示图1.图1如图，在锐角A的一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，垂足为C，得到RtABC；再任取一点B1，自点B1向另一边作垂线，垂足
3、为C1，得到另一个RtAB1C1这样，我们可以得到无数个直角三角形，这些直角三角形都相似在这些直角三角形中，锐角A的对边与邻边之比、 究竟有怎样的关系？教师读题后学生思考生：锐角A的这些对边与邻边之比都是相等的师：对，在这些直角三角形中，当锐角A的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，A的对边与邻边的比值总是一个定值教师边操作边讲解图2.图2在这个直角三角形ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tan A，即tan A.2坡度、坡角的概念教师边作图边讲解：正切经常用来描述坡面的坡度坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i，坡度通常写成hl的形
4、式坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记作，于是有itan .你能得到坡度与坡角之间的关系吗？生：能坡度越大，坡角越大，坡面就越陡师：很好！三、举例应用，巩固新知教师多媒体课件出示课本第114页例1.师：你能计算出A和B的正切吗？学生思考后回答：能师：怎样计算？教师找一生回答生：tan A，tan B四、继续探究，层层推进教师多媒体课件出示图1(同前)师：在这个图中，这些直角三角形都是相似的，当锐角A的大小确定后，不仅A的对边与邻边的比随之确定，还有一些量也是确定的，你知道还有哪些量也是确定的吗？学生思考、交流教师提示：还有哪两条边的比值也是确定的？生甲：A的对边与斜边的比值也是确定的生
5、乙：邻边与斜边的比值也是确定的师：对教师多媒体课件出示图2(同前)师：在这个直角三角形ABC中，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sin A，即sin A.锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cos A，即cos A.锐角A的正弦、余弦、正切称为锐角A的三角函数我们介绍了正弦、余弦，下面我们通过具体的实例加深对这些函数的印象老师多媒体课件出示课本第115页例2.师：要求这三个三角函数的值，需要知道几条边的长？生：三条师：现在已知了哪几条边的长？生：AC、BC两条边的长师：那么我们需要求什么才能求出三个三角函数的值？生：还要求出AB的长师：怎样求呢？生：用勾股定理师：很好！现在请
6、同学们求出AB的长，并进一步求出A的各个三角函数的值学生做题师：请同学们将你的步骤和结果与课本上的解答相比照，对不正确的地方加以纠正学生对照教师多媒体课件出示课本第115页例3.师：以前是在直角三角形中，用直角三角形的边长之比求三角函数的，现在没有直角三角形怎么办？学生思考生：作辅助线师：怎样作？生：过点P向x轴作垂线，垂足为Q.这样在直角三角形OPQ中求角的三角函数值就行了师：很好！作出这样的辅助线就方便了，就变成了我们以前遇到过的类型，同学们能求出吗？生：能师：好！现在请同学们画出辅助线，并求出角的三角函数值学生作图，计算师：请同学们将结果与课本上的解答比较，加以修正学生对照，修正五、课堂
7、小结师：本节课你又学习了什么内容？学生回答师 ：你还有什么疑问？学生提问，教师解答第2课时30，45，60角的三角函数值教学目标【知识与技能】1熟记30、45、60角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数2在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半【过程与方法】1培养学生把实际问题转化为数学问题的能力2培养学生观察、比较、分析、概括的能力【情感、态度与价值观】经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度重点难点【重点】30、45、60角的三角函数值【难点】与特殊角的三角函数值
8、有关的计算教学进程一、复习回顾，引入新课教师多媒体课件出示问题：为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：(1)含30和60两个锐角的三角尺；(2)皮尺请你设计一个测量方案，测出一棵大树的高度学生讨论，交流想法生：我们组设计的方案如下：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，这位同学拿起三角尺，使她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30角的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度、BE的长度，因为DEAB，所以只需在RtCDA中求出CD的长度即可师：在RtACD中，CAD30，ADBE，BE是已知的，设BEa米，则ADa米，如何求CD呢？生：含30角的直角三角形有一个非常重要的性质：30
9、的角所对的直角边等于斜边的一半，即AC2CD，根据勾股定理，得(2CD)2CD2a2.解得，CDa.则树的高度即可求出师：我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30角的正切值，在上图中，tan 30，则CDatan 30，岂不简单！你能求出30角的三个三角函数值吗？二、探究新知(1)探索30、45、60角的三角函数值师：观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？生：一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30、60、45、45.师：sin 30等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流生：sin 30.sin 30表示在直角三角形中
10、，30角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关我们不妨设30角所对的边长为a(如图所示)，根据“直角三角形中30角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边长等于2a.根据勾股定理，可知30角的邻边长为a，所以sin30.师：cos 30等于多少？tan 30呢？生：cos 30.tan 30.师：我们求出了30角的三个三角函数值，还有两个特殊角45、60，它们的三角函数值分别是多少？你是如何得到的？生：求60角的三角函数值可以利用求30角的三角函数值的三角形因为30角的对边和邻边分别是60角的邻边和对边利用上图，很容易求得sin 60，cos 60，tan 60.师生共同分析：我们一起来求4
11、5角的三角函数值含45角的直角三角形是等腰直角三角形如图，设其中一条直角边为a，则另一条直角边也为a，斜边为a.由此可求得sin 45，cos 45，tan 451.教师多媒体课件出示：三角函数角度sincostan3045160 师：这个表格中的30、45、60角的三角函数值需要熟记另一方面，要能够根据30、45、60角的三角函数值说出相应的锐角的大小为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点先看第一列30、45、60角的正弦值，你能发现什么规律呢？生：30、45、60角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为、，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大师：再来看第二列的函数值，有何特点呢？生：第二
12、列是30、45、60角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从小到大分别为、，余弦值随角度的增大而减小师：第三列呢？生：第三列是30、45、60角的正切值，首先45角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan 451比较特殊师：很好！掌握了上述规律，记忆就方便多了下面同桌之间可互相检查一下对30、45、60角的三角函数值的记忆情况相信同学们一定会做得很棒！(2)进一步探究锐角的三角函数值如图，在RtABC中，C90.sin A，cos A，sin B，cos B，sin Acos B，cos Asin B.AB90，B90A，即sin Acos Bcos(90A)，cos Asin Bsin(90
13、A)任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值三、例题讲解，巩固新知【例1】计算：(1)sin 30cos 45；(2)sin260cos260tan 45.分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角的三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin260表示(sin 60)2，cos260表示(cos 60)2；教师找两生板演，其余同学在下面做，然后集体订正得到：解：(1)sin 30cos 45；(2)sin260cos260tan 45()2()2110.【例2】在RtABC中，C90，且sin A，求cos B的值解：AB90，cos Bcos(90A)sin A.四、课堂小结本节课总结如下：1探索30、45、60角的三角函数值sin 30，sin 45，sin 60；cos 30，cos 45，cos 60；tan 30，tan 451，tan 60.2能进行含30、45、60角的三角函数值的计算 3.能根据30、45、60角的三角函数值，说出相应锐角的大小第3课时一般锐角的三角函数值教学目标【知识与技能】1会使用计算器求锐角的三角函数值2会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角【过程与方法】在做题、计算的过程中，逐步熟悉计算器的使用方法【情感、态度与价值观】经历计算器的使用
