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1、点不在根轨迹上。（3）求等超调线与根轨迹的交点方法一 ，设等超调线与根轨迹交点坐标实部为，则，有 令等式两边s各次项系数分别相等，得方法二 由特征方程，按照典型二阶系统近似计算得：另外，把代入特征方程也可求得同样结果。2-4-6 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 （1）试绘制参数由变化的闭环根轨迹图；（2）求出临界阻尼比时的闭环传递函数。【解】：（1）系统特征方程为等效开环传递函数为： 题2-4-6解图a由变化为一般根轨迹。 开环极点。 渐近线与实轴的交点：，渐近线倾角：。 实轴上的根轨迹在区间。 分离点由 得 解得为起点，为分离点。 根轨迹与虚轴的交点令，代入特征方程得 该系统根轨迹如题2
2、-4-6解图所示。（2）时，对应实轴上根轨迹的分离点，。因为，可由开环极点之和等于闭环极点之和求得另一实轴上的极点坐标系统闭环传递函数为题2-4-7解图2-4-7 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ：（1）试绘制由变化的闭环根轨迹图；（2）求出使系统产生相重实根和纯虚根时的值。【解】：（1）根轨迹方程为由变化，为根轨迹。 开环零点，开环极点。 实轴上的根轨迹在区间。 分离点和会合点解得为会合点，为分离点。 根轨迹与虚轴的交点特征方程为 令，代入特征方程得 该系统根轨迹如题2-4-7解图所示。（2）实轴上根轨迹的分离点和会合点即为相重实根，其K值分别为 纯虚根时的K值即为根轨迹与虚轴交点的K值
3、，由（1）所求得之。 （1） （2）题2-4-8图2-4-8 系统方框图如题2-4-8图所示，试绘制由变化的闭环根轨迹图。 【解】：（1）根轨迹方程为由变化为零度根轨迹。 开环极点。 实轴上的根轨迹在区间。 该系统根轨迹如题2-4-8解（1）图所示。（2）根轨迹方程为由变化为一般根轨迹。 开环极点。 渐近线与实轴的交点：，渐近线倾角：。 实轴上的根轨迹在区间。题2-4-8解图 分离点 （1） （2）题2-4-8解图 复平面上的根轨迹与渐近线重合，如题2-4-8解图（2）所示。2-4-9 单位负反馈系统开环传递函数为 ，绘制由变化的闭环根轨迹图。【解】：等效根轨迹方程为当由时为零度根轨迹。 开环
4、零点，开环极点。，有一个无穷远的极点。 实轴上的根轨迹在区间。 分离点和会合点解得为分离点，为会合点。题2-4-9解图 根轨迹与虚轴的交点特征方程为 令，代入特征方程得 复平面上的根轨迹是圆，如题2-4-9解图所示。2-4-10 系统方框图如题2-4-10图所示，试求：（1）当闭环极点为时的值；（2）在上面所确定的值下，当由变化的闭环根轨迹图。题2-4-10图【解】：（1）特征方程为 闭环极点为时的系统特征方程为 两方程联立求解得： 题2-4-10解图 （2）系统开环传递函数为等效根轨迹方程为： 当由时为一般根轨迹。 开环零点，开环极点。 实轴上的根轨迹在区间。 会合点解得为起点，为会合点，。
5、 复平面上的根轨迹是圆，如题2-4-10解图所示。2-4-11 系统闭环特征方程分别如下，试概略绘制由变化的闭环根轨迹图。（1） （2）题2-4-11（1）解图【解】：（1）由系统闭环特征方程得等效根轨迹方程为由变化为一般根轨迹。 开环零点，开环极点。 实轴上的根轨迹在区间。 分离点和会合点解得（起点），（分离点），（会合点），（舍去）。 根轨迹与虚轴的交点根据特征方程列劳斯表令行等于零，得，代入行辅助方程，得 该系统根轨迹如题2-4-11（1）解图所示。（2）由系统闭环特征方程得等效根轨迹方程为 由变化为一般根轨迹。 开环零点，开环极点。 渐近线与实轴的交点 渐近线倾角 实轴上的根轨迹在区间
6、。 分离点解得（分离点），（舍去），（舍去）。 根轨迹与虚轴的交点根据特征方程列劳斯表题2-4-11（2）解图令行等于零，得，代入行辅助方程，得 该系统根轨迹如题2-4-11（2）解图所示。2-4-12 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 （1）试概略绘制由和变化的闭环根轨迹图；（2）求出其单位阶跃响应为单调衰减、振荡衰减、等幅振荡、增幅振荡、单调增幅时的值。【解】：（1）特征方程为，等效根轨迹方程为：（a）由变化时为一般根轨迹。 开环零点，开环极点 实轴上的根轨迹在区间。 会合点题2-4-12解图解得（舍去），（会合点）。 出射角 复平面的根轨迹是圆心位于、半径为的圆周的一部分，如题2-4-
7、12解图实线部分所示。（b）由变化为零度根轨迹。 实轴上的根轨迹在区间。 会合点计算同上。会合点为，。 复平面的根轨迹是圆心位于、半径为的圆周的另一部分，如题2-4-12解图虚线部分所示。（2）由根轨迹看出，根轨迹与虚轴的交点在原点，。根轨迹在实轴上重合时，。根轨迹在复平面上时。结论：系统无等幅和增幅振荡。在取值时,为衰减振荡；时为单调衰减；时为单调增幅。2-4-13 系统方框图如题2-3-13图所示，绘制由的闭环根轨迹图，并要求：（1）求无局部反馈时系统单位斜坡响应的稳态误差、阻尼比及调节时间；（2）讨论时局部反馈对系统性能的影响；（3）求临界阻尼时的值。题2-4-13图【解】： 系统开环传
8、递函数为题2-4-13解图系统特征方程为 等效根轨迹方程为 由变化为一般根轨迹。 开环零点，开环极点。 实轴上的根轨迹在区间。 会合点 解得（舍去），（会合点）。会合点时的a值 复平面的根轨迹是圆心位于、半径为的圆周的一部分，如题2-4-13解图所示。（1） 稳态误差系统开环传递函数为，型系统，。阻尼比和调节时间方法一：根据题意，对应根轨迹起点方法二： 对应开环传递函数有（2）由根轨迹看出，此时系统特征根为两个不相等的实根，系统无超调，稳定性变好。但由于其中一个实根更靠近虚轴，使调节时间增长。系统仍为型，开环增益减小，斜坡信号输入时稳态误差增大。（3）系统闭环根轨迹在实轴上出现会合点时为临界阻
9、尼情况，此时。从特征方程上也可以直接看出。2-4-14 设单位负反馈系统的开环传递函数为 确定值，使根轨迹分别具有：0，1，2个分离点，画出这三种情况的根轨迹。【解】：根轨迹分离点由下式确定，为原点处重极点的分离点，实轴上其他的分离点和汇合点。（1） 0个分离点只要原点处有两个极点，无论何种情况，至少有一个分离点，所以令，则开环传递函数为当由变化，即零度根轨迹时没有分离点。其根轨迹如题2-2-14解图（1）所示。（2） 1个分离点对于一般根轨迹，是一个分离点。所以当不存在，即，时，根轨迹具有一个分离点。设渐近线倾角和渐近线与实轴的交点分别为 实轴上的根轨迹在区间。其根轨迹如题2-2-14解图（2）所示。（3） 2个分离点当或时，有两个分离点。其中对应零度根轨迹的情况。设渐近线倾角和渐近线与实轴的交点分别为 实轴上的根轨迹在区间。分离点会合点 （1） （2） （3）题2-2-14解图其根轨迹如题2-2-14解图（3）所示。
