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1、华东理工大学概率论与数理统计学 院 _专 业 _班 级 _学 号 _姓 名 _任课教师_第十九次作业一填空题：1在一批垫圈中随机抽取10个，测得它们的厚度(单位: mm)如下: 1.23， 1.24， 1.26， 1.29， 1.20， 1.32， 1.23， 1.23， 1.29， 1.28用矩估计法得到这批垫圈的数学期望的估计值=，标准差的估计值=。2将合适的数字填入空格，其中：（1）总体矩，（2）样本矩，（3）中心极限定理，（4）大数定理。矩估计的做法是用（2） ，代替（1） ，其依据是 （4） 。3已知总体，其中未知参数的极大似然估计分别为，则概率的极大似然估计为。二计算题：1设总体的
2、分布律为，其中未知，为来自该总体的样本，试分别求的矩估计和极大似然估计解：（1）矩估计总体均值：，样本平均值：， 令 ，即 ，得，即的矩估计为。（2）极大似然设的一组观测值为，似然函数，显然越小，似然函数值越大。由,得，则的极大似然估计值为，即的极大似然估计为2设总体服从几何分布：， 其中未知。设为的样本，试求的矩法估计和极大似然估计。解：(1)由于，因此，由矩法原则可知，故。(2)设样本的一组观测值为, 由于总体为离散型,因此似然函数 ,取对数, 得,上式两端关于求导, 令,解上式, 得。3设总体总体的密度函数为， 其中是未知参数, 是来自总体的样本，分别用矩估计法和极大似然法求的估计量。解
3、：总体的数学期望为,设为样本均值, 则应有：,解得的矩法估计量为: ；设是样本的观察值, 则似然函数为：,当时, 令 , 解得的极大似然估计值：，故的极大似然估计量为：。4设总体的分布律为0123其中是未知参数。现有一样本：3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3。求的矩估计值和极大似然估计值。解：(1) 由矩法原则可知：，由样本得：，故的矩估计值。(2) 注意该总体为离散型，且分布律不能由解析式表示。似然函数 ，取对数，得，令，解得，由于不合题意，故舍去。因此，的极大似然估计值为。第二十次作业一选择题：1设总体的数学期望为，是取自总体的样本，则下列命题中正确的是( A )A. 是的无偏估
4、计量； B. 是的极大似然估计量；C. 是的一致(相合)估计量； D. 不是估计量。2设为总体(已知)的一个样本, 为样本均值, 则总体方差的下列估计量中, 为无偏估计量的是( C ).A. ; B. ; C. ; D. ;二计算证明题：1设总体，是的样本，（1）证明： 都是的无偏估计。（2），这三个估计中，哪一个估计最有效？证明： (1)所以, 都是的无偏估计.(2)由于样本独立同分布,那么可知,故最有效.2设从均值为，方差为的总体中，分别抽取容量为和的两个独立样本，和分布是这两个样本的均值。试证：对于任意常数，是的无偏估计，并确定常数，使得达到最小。证明：因为,故对于任意常数,都是的无偏估
5、计.由于两个样本独立, 因此相互独立, 那么由定理6.2.1,可知,将代入, 得, 求其最小值, 即当时, 最小。3设随机变量服从区间上的均匀分布, 其中为未知参数, 是来自于的一个样本, 是样本均值, .证明: 和都是无偏估计量().证明：因为服从区间上的均匀分布, 所以，所以是无偏估计量.再证是无偏估计量, 先求的概率分布, 的分布函数，的密度函数，与独立且同分布, 故的分布函数为：，于是, ，所以也是无偏估计量。4.设总体服从参数为的指数分布，是总体的一个样本，证明：（1）和都是的无偏估计；（2）问，中哪个更有效？证明: （1）由服从参数为的指数分布，得到，于是有.为了计算。先给出的分布函数为：于是有的分布函数概率密度函数为故.（2）同样由于服从参数为的指数分布，得到，于是有；为了计算，先计算。得到故当时，比更有效；当时，和一样有效；当时，比更有效。
