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1、(完整word版)概率论与数理统计期末考试复习资料第1章随机事件及其概率/（1）排列组合公式Pmnm!n)!(mCmnm!n!(mn)!从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）加加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。法和乘乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn法原理某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由mn种方法来完成。（3）一重复排列和非重复排列（有序）些常见对立事件（至少有
2、一个）排列顺序问题（4）随如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不机试验止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这和随机种试验为随机试验。事件试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；（5）基任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。本事基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。件、样一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大本空间写字母A，B，C，表示事件，它们是的子集。和
3、事件为必然事件，?为不可能事件。不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：AB如果同时有AB，BA，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。（6）事A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。件的关属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，系与运也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。算A、B同时发生：AB，或者AB。AB=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互
4、斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C1分配率：(AB)C=(AC)(BC)(AB)C=(AC)(BC)德摩根率：AiAiABAB，ABABi1i1设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：（7）概10P(A)1，2P()=1率的公3对于两两互不相容的事件A1，A2，有理化定义PAiP(Ai)i1i1常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件A的概率。11,2n，2P(1)P(2)P(n)1。（8）古设任一事件A，它是由1,
5、2nm组成的，则有典概型P(A)=(1)(2)(m)=P(1)P(2)P(m)m A所包含的基本事件数n 基本事件总数若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称（9）几此随机试验为几何概型。对任一事件A，何概型L(A)P(A)。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。L(（10）P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)加法公当P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B)式（11）P(A-B)=P(A)-P(AB)减法公当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)式当A=时，P(B)=1-P(B)P(AB)（12）
6、定义设A、B是两个事件，且P(A)0，则称P(A)为事件A发生条件P(AB)。条件概下，事件B发生的条件概率，记为P(B/A)率P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式：P(AB)P(A)P(B/A)乘法公更一般地，对事件A，A，A，若P(AAA)0，则有12n12n-1式P(AAA)P(A)P(A|A)P(A|AA)P(A|AA2A)。12n121312n1n1两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB)P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立（14）的。独立性若事件A、B相互独立，且P(A)0，则有P(A
7、B)P(A)P(B)P(B|A)P(B)P(A)P(A)2n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件?与任何事件都相互独立。? 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。设事件12nB,B,B满足（15）1B1,B2,Bn两两互不相容，P
8、(Bi)0(i1,2,n)，全概公2An，Bi式i1则有P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。设事件B1，B2，Bn及A满足1B1，B2，n两两互不相容，i1，2，n，BP(Bi)02AnBi，P(A)0，则i1（16）P(Bi)P(A/Bi)贝叶斯P(Bi/A)n，i=1，2，n。公式P(Bj)P(A/Bj)j1此公式即为贝叶斯公式。P(Bi)，（i1，2，n），通常叫先验概率。P(Bi/A)，（i1，2，n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。我们作了n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发
9、生或A不发生；（17）伯努利生与否是互不影响的。概型这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1pq，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0kn)次的概率，Pn(k)Ckpkqnk，k0,1,2,n。n第二章随机变量及其分布3（1）离设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,)且取各个值散型随的概率，即事件(X=Xk)的概率为机变量P(X=xk)=pk，k=1,2,，的分布则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也律用分布列的形式给出：X|x1,x2,xk,。P(Xxk)p1,p2,pk,显然分布律应满足下列条件：（1）p
10、k0，k1,2,，（2）pk1。k1（2）连设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意续型随实数x，有机变量F(x)x，的分布f(x)dx则称X为连续型随机变量。称为X的概率密度函数或密度函密度f(x)数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1f(x)0。2f(x)dx1。（3）离散与连续型随机变量的关系（4）分布函数P(Xx)P(xXxdx)f(x)dx积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(Xxk)pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x)P(Xx)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(aXb)F(b)F(a)可以得到X落入区间(a,b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间（，x内的概率。分布函数具有如下性质：123450F(x)1,x；F(x)是单调不减的函数，即x1x2时，有F(x1)F(x2)；F()limF(x)0，F()limF(x)1；xxF(x0)F(x)，即F(x)是右连续的；P(Xx)F(x)F(x0)。对于离散型随机变量，F(x)pk；xkxx对于连续型随机变量，F(x)f(x)dx。（5）八0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q大分布4二项分布泊松分布超几何分布几
