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1、第五章 IV和GMM一、IV估计量1、内生解释变量（1）什么是内生性回顾经典假设：对于回归模型， ， OLS 的基本假设：(见陈强，书P15)严格外生性假定可以推出： CovX,u = 0。即：解释变量X与随机项不相关；定义：内生解释变量。如果X与随机项u之间存在相关性，称X为内生解释变量。 （2）内生性解释变量产生的原因遗漏了重要的解释变量 True: Do: 观测误差 True: Do: X与是否相关？比如吸烟与健康的调查中。不吸烟者的误差为零。吸烟者对吸烟次数的报告有较大的偏差滞后被解释变量如果时间序列中有自相关的话联立方程中（说明见陈强书：第十章，P120-121）（3）、内生性的后果
2、参数估计是有偏的，有时甚至（同期相关）是不一致的。难以通过扩大样本改善估计性质。内生性问题 （因为，所以OLS估计是有偏的）此时参数估计的偏差不仅仅存在于内生解释变量的参数上，而是所有的参数估计值都会受到影响2、工具变量对内生变量的解决思路 增加遗漏的变量，或者其代理变量 面板数据 工具变量法（Instrument variables）（1）工具变量的定义： 工具变量：在模型估计过程中被作为工具使用，以替代模型中与随机误差项相关的随机解释变量。 （2）工具变量要满足的条件：工具变量相关性：工具变量与所替代的随机解释变量高度相关；工具变量外生性：工具变量与随机误差项不相关；另外：所找的工具变量要
3、尽量与模型中其它解释变量不相关，以避免出现多重共线性。 3、IV估计量和TSLS（1）思路X的变动中，一部分与u无关，一部分与u相关。用工具变量抓住X变动中与u无关的部分。忽略那些与u相关的X的变动（正是这部分变动导致了估计的有偏）（2）一个工具变量的情形，X为内生变量，找到一个工具变量Z第一阶段：做回归X被分解为两个部分：与u无关的部分：由于Z与u无关，因此线性部分是X中没有问题的部分；与u有关的部分v：忽略v第二阶段：做回归得到TSLS的估计量（3）多个工具变量的情形对于模型: ，假设为内生变量，若存在两个工具变量 z1 和 z2，将得到两个 IV 估计量。 问题：如何将这两个IV估计量合
4、并起来？ 第一阶段：, 得到 x 的拟合值，视为 x 的工具变量第二阶段：。*说明*TSLS软件会直接执行两个步骤，无需分开自行求解。自行求解时残差序列是错误的*工具变量个数一定不能少于内生变量个数。如果工具变量个数恰好等于内生变量个数，称为系数恰好识别 如果工具变量个数大于内生变量个数，称为系数过度识别*可以把外生变量，看做自己的工具变量。也就是此时可见OLS是IV估计的特例（4）矩阵的视角看IV估计（IV估计可以解决问题吗？）因为工具变量外生性，所以 *IV估计不是用Z代替X，而只是分离出与u不相关的部分，只是部分的代替（5） IV估计的性质 在大样本下，IV 估计是一致的，4、工具变量有
5、效性的检验（1）假设1：工具变量相关性什么是弱工具变量几乎不能解释变动的工具变量称为弱工具变量为什么若工具变量是个问题？如果工具变量较弱，TSLS不再是可靠的。事实上，如果工具变量较弱，TSLS估计严重偏向OLS估计的方向（有偏）以一元为例，说明为什么弱工具变量是一个问题的OLS 估计：对于,计算IV估计：如果是弱工具变量，与相关性很小，甚至为，则导致结果严重偏离。弱工具变量检验的经验法则问题：工具变量与X的相关性多大才能使估计效果好？思路：TSLS的第一阶段，衡量了与Z的关系。第一阶段用F统计量检验工具变量系数都为0的假设。F统计量度量了工具变量包含的信息，包含的信息越多，则F统计量的期望值
6、越大。方法：利用F统计量检验TSLS第一阶段中工具变量系数都为0的假设。经验法则是：如果F统计量超过10，无需担心弱工具变量。（此时TSLS的偏差大约只有OLS偏差的1/9左右）如果存在弱工具变量怎么办？*如果有很多工具变量，其中一些是弱工具变量，在TSLS分析中忽略弱工具变量而选用相关性最强的工具变量子集*若系数恰好识别，（工具变量数与内生变量数一样）,此时要么：寻找其他较强的工具变量要么：利用弱工具变量进行实证分析，但不要用TSLS，而采用LIML：有线信息最大似然估计。LIML的估计量比TSLS更靠近参数的真实值。（2）假设2：工具变量的外生性能否从统计上检验工具变量的外生性？能也不能。
7、*当系数恰好识别时（工具变量个数m=内生变量个数k），无法检验。评估工具变量外生的唯一方法是：利用专家观点和你对于待解决问题的认识*当系数过度识别时（工具变量数量m内生变量个数k），可以检验。原因：（为何此时可以检验工具变量外生性的原因：）假设只有一个内生变量，但有两个工具变量。如果两个工具变量都是外生的，则两个估计量（都是一致的）比较接近。如果两个估计量非常不同，可以得到一个或者两个工具变量都不是外生的。过度识别约束检验*为什么要进行过度识别约束检验：由于工具变量多余内生变量，需要检验这些工具变量是否与扰动项相关，即工具变量是否合理？*思路：工具变量的外生性意味着他们与u不相关。也就是说Z与
8、近似不相关。其中(用TSLS的估计，而不是OLS估计（有偏）)分析：如果工具变量是外生的，则上述残差关于工具变量和外生变量回归中，工具变量的系数为0。*步骤：工具变量外生性检验，过度识别约束检验（J统计量）S1，计算TSLS的估计残差：，为基于所有工具变量的TSLS回归估计残差。注意：残差是利用解释变量（X，W），而不是拟合值（Xhat）计算的。S2，构造辅助回归其中，e为回归误差项。Z为工具变量m个，W为外生变量r个S3，计算统计量可以证明同方差，并且H0成立时，。其中m-k为过度识别度（m为工具变量个数，k为内生变量）(前提是同方差，若异方差需要修正，见斯托克计量经济学第12章)S4，判断
9、如果J临界值，拒绝原假设。则工具变量与扰动项相关，工具变量不是外生的。如果J=临界值，不拒绝原假设，可以认为工具变量是外生的*如果是恰好识别，则J统计量的自由度为0，因此无法进行工具变量外生性检验。5、OLS vs IV我们假设解释变量有内生性，那么解释变量是否真的有内生性？（1）如果所有解释变量都是外生变量，则OLS比IV更有效。此时使用IV，虽然估计量是一致的，但会增加估计量的方差。（2）如果存在内生变量，OLS是不一致的，而IV是一致的。（3）检验思想如果所有解释变量都是外生的，无论是OLS还是IV估计都是一致的，则两个估计量差距不大。如果有部分解释变量是内生的，则OLS估计是不一致的，
10、而IV估计是一致的，两个估计量差距较大。（4）检验方法H0 所有解释变量均为外生变量H1，至少有一个解释变量为内生变量构造统计量：可以证明在H0成立时，上述统计量服从卡方分布（其中r为内生解释变量的个数）计算统计量查卡方分布表，得到临界值判断如果计算的统计量大于临界值，拒绝原假设如果计算的统计量不超过临界值，则认为原假设合理*工具变量的寻找是很困难的*时间序列或面板数据模型中的工具变量，有时可以用滞后值。二、广义矩估计法（GMM:Generalized Method of Moments）1、为什么要用GMM（1）OLS和MLE的缺陷OLS的局限，只有在经典假设满足的条件下，估计量才具有优良性
11、质。MLE的局限，必须对随机扰动项的分布作出某种假设。（2）GMM的优势不考虑随机扰动项的准确分布信息。GMM估计量的一致性仅取决于矩条件的正确设定允许随机扰动项存在异方差，自相关等情况。为传统估计方法计算困难提供了方便的方法大样本情况下，GMM估计量渐进有效。OLS、MLE、IV都可以看做是GMM的特例。为OLS，IV，MLE提供了一个统一的分析框架。2、矩估计法（MM：Method of Moments）（1）矩法什么叫做矩：对于随机变量来说，矩是其最广泛，最常用的数字特征矩法的思想：母体的各阶矩一般与的分布中所含的未知参数有关，有的甚至就等于未知参数。由辛钦大数定律知，简单随机子样的子样
12、原点矩依概率收敛到相应的母体原点矩。这就启发我们想到用子样矩替换母体矩，进而找出未知参数的估计，基于这种思想求估计量的方法称为矩法。矩估计：用矩法求得的估计称为矩法估计，简称矩估计。它是由英国统计学家皮尔逊Pearson于1894年提出的。 矩条件：就是一个同时含有随机变量和待估计参数的式子（2）OLS矩估计（GMM估计的特例）矩条件：考虑经典线性回归模型的OLS估计量，该模型的一个重要假设条件是解释变量与扰动项无关，即 样本对应物： 这组矩条件的样本对应物是 例如： 如果满足所有基本假设，OLS的正规方程组为：即： （总体矩要求EXu=0）求解上述矩条件（样本矩），可以得到参数估计。不难看出
13、，这些矩条件正好是OLS估计量的正规方程，因此我们看到，OLS估计量是矩估计量。（3）IV估计是矩估计（GMM估计）的特例例如：如果x2为随机变量(内生解释变量)，z2为它的工具变量，IV的正规方程组为：4个等于0的矩条件，求解4个参数3 广义矩法（1）GMM的引出矩估计：矩条件的个数恰好等于要估计参数的数目，即方程个数等于未知参数的个数，所以存在未知参数的唯一解。广义矩：如果矩条件的数目大于参数的个数，就是广义矩法。广义矩的例子如果x2为内生变量，z1、z2 为它的工具变量，GMM关于参数估计量的矩条件为：5个等于0的矩条件，求解4个参数。（如何求解？下面看一下广义矩的思想）（2）GMM的思
14、想OLS看做矩估计：矩条件为：EXu = 0IV估计看做矩估计：矩条件为 EZu = 0一般的，将上式写成其中：其中 g表示有R个元素的向量函数（R个矩条件）。为K维未知参数向量 。 X,Y为观测值，Z 为工具变量向量。 矩条件的一般形式为R个矩条件，K个待估参数。为了估计 ，我们考虑上式的样本对应物R=K,唯一解。如果矩条件的个数R=未知参数的个数K，则令 的R个元素等于0，解出的唯一解，得到一个一致估计量；RK,无法识别。如果矩条件的个数RK，如何求解？如果矩条件的个数R参数的个数K，我们无法通过令 等于0求解，因为方程数目多于变量个数。（识别与中学阶段的方程求解有不同哦！）分析：舍弃多余的矩条件，转化为矩法。但是损失信息。而且利用不同的矩条件，得到的结果不一致尽可能满足R个矩条件（不可能同时满足），使得他们尽可能和0接近。GMM
