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1、微积分的思想和方法（部分讲义）黄 荣第四讲第四章 定积分与不定积分教学目标1、了解定积分产生的历史、实际背景，理解定积分的概念，掌握定积分的性质；2、理解原函数与不定积分的概念；3、掌握不定积分性质与其本积分公式；4、掌握定积分的牛顿一莱布尼兹公式；5、了解定积分在实际问题中的应用；6、了解简单微分方程的概念。重点难点定积分、不定积分的概念、牛顿一莱布尼兹公式。学习建议1、学习定积分概念时，应充分注意体现微积分的基本思想。2、学员学习不定积分时，要注意加强练习，尽量做到掌握不定积分的计算方法。3、牛顿一莱布尼兹公式，建立了微分和积分之间的联系，学员应适当练习，切实掌握。4、为了掌握计算技能，学
2、员必须做适当的练习。课时分配面授8课时，自学16 课时。面授辅导1、不定积分1.1不定积分定义1.1.1原函数如果函数f(x)与f(x)定义在同一区间(a，b)，并且处处都有：F1(x)=f(x)或df(x)=f(x)dx则称f(x)是f(x)的一个原函数。下列是一些简单函数的原函数：出数原函数cosxsinxsinx-cosxexexen xn+1设函数f(x)与F(x)定义在同一区间(a，b) 内。苦F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+c也是f(x)的原函数，c为常数。例1：求2x的原函数F(x)，且使F(2)=7。解： x2=2x x2是2x的一个原函数。 2x的全体原函数为 F
3、(x)=x2+c (c为常数) F(2)=22+c=7 c=3F(x)=x2+3为所求。例2：求sinx的原函数F(x)，且使F(0)=4。解：由于 (-cosx)=sinx 因此-cosx就是 sinx的一个原函数。 sinx的全体原函数记为 F(x)=-cosx+c依题意有：F(o)=-cosD+c=4 c=5所求F(x)=-cosx+5例3：求f(x)=x3-3x2+2x+7的原函数。解：f(x)的一个原函数为 x4-x3+x2+7x则f(x)的全部原函数为F(x)= x4-x3+x2+7x+c (c为常数)1.1.2不定积分定义函数F(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分，记为 (
4、x)dx。其中 称为积分号，x称的积分变量，(x) 称为被积函数。虽然 (x)dx=F(x)+c(c为任意常数，称为积分常数)注意：“不定积分”与“求导数”、“求微分”互为逆运算。 例1 已知自由落体的运动速度，求自由落体的路程公式。解 设自由落体的路程公式为。由导数的力学意义可知，速度。联想到，并且常数的导数为，所以。于是路程公式为 （为任意常数）又因当时，代入上式，可得，故所求的路程公式为 该物理问题是已知速度求路程。抽象为数学问题，就是已知导数求原来的函数，这是求导数的逆运算。数学中的逆运算我们已经碰到过不少，比如相对于加法的减法，相对于乘法的除法，相对于乘方的开方等。这里需要解决两个问
5、题：一是逆运算是否存在？二是如果逆运算存在的话，结论有几个？现在就来围绕这两个问题解决求导数（或微分）的逆运算问题。首先我们要知道什么是原函数。根据导数公式或微分公式，我们很容易得出一些简单函数的原函数。如 函数 原函数 从这些例子不难看出，是的原函数，也是的原函数，这里是任意常数。于是产生这样一个问题：同一个函数究竟有多少原函数？ 定理 设函数与定义在同一区间内。若是的一个原函数，则也是的原函数，这里是任意常数；而且包含了的全部原函数。证明 因为 所以是的原函数。下面证明包含了的一切原函数。而这只需证明，的任一原函数必然有的形式。证明 根据假设 ，从而 ，由中值定理推理2得 ， 故 。例1
6、求的原函数，且使。解 我们知道，因此就是的一个原函数，的全体原函数记为=+。根据题意，我们求常数。 ，=3所以 =+3例2 求的原函数，且使。解 求解的思路同例1一样。我们知道，因此就是的一个原函数，的全体原函数记为=+。根据题意，我们求常数。 ，=5所以 =+5例3 求的原函数解 的一个原函数为 则的全部原函数为（为常数）。不定积分定义定义 函数的原函数的全体称为的不定积分，记为 ，其中称为积分号，称为积分变量，称为被积函数。由定理可知，如果知道了的一个原函数，则 ，其中是一个任意常数，称为积分常数。关于不定积分运算和微分运算从不定积分的概念可知，“不定积分”与“求导数”、“求微分”互为逆运算： 或；反过来， 或。这就是说，若先积分后微分，则两者的作用互相抵消；若先微分后积分，则抵消后差一常数。例4 求解 是指求的一切原函数，所以=不定积分的几何意义作例4的函数族图，得到一曲线族，不定积分的几何意义就是曲线族。由一条曲线上下平移而得到。它们在同一点的切线斜率相等，如图所示。 思考题(1)德.摩根说积分就是“回忆微分”，你能默想导数公式并列出相应的基本不定积分公式吗？(2)你了解数学的三次危机吗？它们对你又何启示？
