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1、人人都来掷骰子 日常生活中的概率与统计目录： 一、概率论与数理统计的起源 二、概率在医疗方法决策上的应用 三、大数定律在保险学中的应用 四、概率在中奖问题中的应用 五、概率与选购方案的综合应用 六、概率在风险决策中的应用 七、总结 摘要： 概率和统计以各种各样的方式影响着普通百姓的生活，信息常常是确切的，可总是会带有偏向性。不知你相不相信你的直觉，但在这里我们将看到，在日常生活中，我们的直觉往往是靠不住的。在概率论这门数学分支中，有许许多多的例子说明，直觉会导致错误的结论，因此我们要学会如何在生活中应用概率与统计。关键词：概率论 统计 生活 大数定律 数学期望一、概率论与数理统计的起源概率论的
2、萌芽源于十七世纪保险业的发展，但是真正引发数学家们思考的源泉，却是赌博者的请求。十七世纪中叶，法国贵族德美黑在骰子赌博中，有事急于抽身，须中途停止赌博，需要根据对胜负的预测把赌资进行合理的分配，但不知用什么样的比例分配才算合理，于是就写信向当时法国的最高数学家帕斯卡请教。正是这封信使概率论在历史的舞台迈出了第一步。帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一起，研究了德美黑提出的关于骰子赌博的问题。于是，一个新的数学分支-概率论登上了历史舞台。三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了论机会游戏的计算一书，这就是最早的概率论著作。为概率论确定严密的理论基
3、础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的概率论的基本概念，用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。二、概率在医疗方法决策上的应用2.1找到最好的治疗方法 “如果你相信医生的话，那么世界上没有任何一样事物是能增进健康的。”，索尔兹伯里勋爵如是说。为什么会出现这种说法呢？其实在医学中感兴趣的概率是经验概率，国家卫生总局与世界卫生组织这样的机构收集和比较不同来源的信息，从而推导出不同疾病的经验死亡率和不同的临床治疗和外科手术的成功率。为了在诊断过程中增加确定性，开发了许多基于计算机的诊断系统，但由于某种症状对应许多种可能的疾病，还是
4、存在着误差性的。尽管诊治有不确定性，但是当我们生病去看医生时，医生经常能识别病症所在，并且知道最好的治疗方法。然而，就像我们已经指出的那样，情况并不总是如此，有时候病症并不指向唯一的疾病，而是指向一组带有不同概率的疾病中的一种或几种。我们假设有这样一个无法确诊的案例，这个案例指向三种可能的疾病，其发生的概率分别为 A 0.70 B 0.20 C 0.10这些概率的依据是由医生和医学团队所收集的和已发表在研究期刊上的大量信息。治疗这三种可能的疾病，我们有多种药物可用，并且由于症状的类似性，这些药物很可能对每一种疾病都有效。假设有三种可用药物a、b和c，它们对这三种疾病的治疗成功概率如下表示 药物
5、a A 0.6 B 1.0 C 0.4 药物b A 0.65 B 0.5 C 0.9 药物c A 0.75 B 0.2 C 0.5 从疾病的发生概率来看，疾病A最有可能，而从药物的有效性来看，药物c对于治疗疾病A最有效。那么我们是否可以做出这样的结论，从病人的角度看，最好的治疗方式是服用药物c？答案是否事实上这是最糟糕的决定。为了看出医生应该怎样开处方，让我们给出以下可笑的但是数值上是有帮助的假设：假定他有1000个患有未知疾病的病人，让我们计算出使用这三种药物治疗的可能结果。对于这1000名病人，我们可以估计患有三种疾病的病人数分别是： A 700 B 200 C 100如果他使用药物a，那
6、么：患有疾病A的700名病人中有7000.6=420人能康复；患有疾病B的200名病人中有2001.0=200人能康复；患有疾病C的100名病人中有1000.4=40人能康复；因此，能康复的病人总数是420+200+40=660.现在我们对另外两种药物重复刚才的计算。结果是对药物b，能康复的病人总数是 7000.65+2000.5+1000.9=645，对药物c，能康复的病人总数是 7000.75+2000.2+1000.5=615。从计算结果可以看出，药物a是最好的。虽然对于最可能发生的疾病A而言，药物a的有效性最低，但是对于另外两种疾病它最有效。从上面的例子可以发现，当我们碰到各种互不相容
7、事件时（例如，疾病A、B、C），这些互不相容事件有不同的概率，而且对于不同的时间有不同的应对方法（例如，使用药物a、b、c），这些应对方法又有着不同的成功概率，此时非常有必要考虑所有时间所有应对方法的各种组合的结果以优化获得成功的可能性。2.2 疾病的群发已知一种青年罹患的疾病发生的频率为每100 000人中有2.2人。一座拥有50 000名青年的城市中查出8位青年患有此病。是否有理由认为这是显著的群发现象？50 000名青年对应的期望值是1.1，因此我们无疑要关注该平均值下的泊松分布。为了检验结果超出期望值的显著性，我们求出实际结果以及所有更加极端的结果出现的总概率也就是，患者人数为8，9,
8、10,11，.,直到无穷大的概率之和。由泊松分布总所有事件发生的概率之和为1，因此，我们可以从1中减去7人及少于7人患病的概率之和，从而求得8人及多于8人患病的概率。这样得出P（8）=1- F(0)-F(1)-F(2)-F(3)-F(4)-F(5)-F(6)-F(7)或 =0.000020124因为这是一个很小的概率，所以我们现在可以得出结论：这是一个显著的群发现象，因此某些地方因素对引发这种疾病产生了作用。这可能是遗传的、文化的、饮食的或其他的一些致病源，需要做进一步调查来发现。三、大数定律在保险学中的应用大数定律和中心极限定理是近代保险业赖以建立的基础。一个保险公司的盈亏，我们通过学习中心
9、极限定理的知识都可以做到估算和预测。下面以一保险业的实例来阐述大数定律和中心极限定理在保险业中的重要作用。假如某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险，每人每年付120元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0006，死亡时，其家属可向保险公司领得1 0000元。试问：平均每户支付赔偿金59元至61元的概率是多少?保险公司亏本的概率有多大?保险公司每年在这项险种中利润大于40万元的概率是多少?保险公司亏本，也就是赔偿金额大于10000120=120(万元)，即死亡人数大于120人的概率。死亡人数YB(10000，0006)，E(Y)=60，D(Y)=5964，由中心极限定理，Y近似服从正态分
10、布N (60，5964)，则PY1200，这说明，保险公司亏本的概率几乎等于0。如果保险公司每年的利润大于40万元，即赔偿人数小于80人。则PY80=09952。可见，保险公司每年利润大于40万元的概率接近100。在保险市场的竞争过程中，在保证相同收益的前提下有两个策略可以采用，一是降低保险费，另一个是提高赔偿金，而采用提高赔偿金比降低保险费更能吸引投保户。四、概率在中奖问题中的应用 集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小、形状、质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码（120号）和1只红球，规定：每次只摸一只球。摸前交1元钱且在120内写一个号码，摸到红球奖
11、5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元。 （1）你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由。 （2）若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？ 分析：小红摸到红球与摸到同号球的概率均为是。那么可能得到得到是收益分别为：或。那么他平均每次将获利为（）。解：（1）P（摸到红球）P（摸到同号球）；故没有利（2）每次的平均收益为故每次平均损失元五、 概率与选购方案的综合应用 某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑(1) 写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示）；(2) 如果(1)中各种选购方案
12、被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？(3) 现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台(价格如图所示)，恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台解：(1) 树状图如下： 列表如下： 有6种可能结果：(A，D)，（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）(2) 因为选中A型号电脑有2种方案，即(A，D)（A，E），所以A型号电脑被选中的概率是(3) 由(2)可知，当选用方案（A，D）时，设购买A型号、D型号电脑分别为x，y台，根据题意，得解得经检验不符合题意，舍去； 当选用方案（A，）时，设购买A型号、型号电脑分别为x，y台，
13、根据题意，得解得 所以希望中学购买了7台A型号电脑六、 概率在风险决策中的应用 决策是人们生活工作中普遍存在的一种活动，是为了解决当前或未来可能发生的问题，在若干可供选择的行动方案中选择一个最佳方案的过程。决策的正确与否会带来收益或损失、风险决策是指在作出决策时，往往受某些随机因素的影响，存在一定的风险。风险决策常用“期望值准则”。如果把每个行动方案看做随机变量，在每个自然状态下的效益值看做随机变量的取值，其概率为自然状态出现的概率，则期望值准则就是将每个行动方案的数学期望值计算出来，视其决策目标的情况选择最优行动方案。即：如果决策目标为利润最大，则采取期望值最大的行动方案；若决策目标是损失最
14、小，则采取期望值最小的行动方案。 某邮局要求当天手机的包裹当天处理完毕，根据以往的统计记录，每天收寄包裹的情况见下表：收寄包裹数/个41505160617071808190占得比例/%1015302520 已知每个邮局职工平均每小时处理4个包裹，每小时工资5元，规定每人每天实际工作7小时，如加班工作，每小时工资额增加50%，但加班时间每人每天不得超过5小时（不足一小时按一小时算），是确定该邮局最有雇佣工人的数量。假设 方案A表示“雇佣2人”，方案B表示“雇佣3人”，N表示收寄包裹数位于(3+i)10+1,40+10i (i=1,2,.,5).因为每人每天最多处理的包裹数为4（7+5）=48，正常处理47=28，而每天需处理的包裹数，最多为90个，故只考虑两个方案A和B。将在不同状态不同方案下邮局支付工人工资数列表如下：状态概率支付工资方案ABN1，0.10572=70573=105N2，0.15572+7.5=77.5573=105N3，0.30572+7.54=100573=105N4，0.25572+7.56=115573=105N5，0.20572+7.59=137.5573+7.52=150根据期望值准则，若雇佣2个工人，则邮局的平均支付工资为
