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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二)第卷一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=0,1,2,N=,则=( )A. 1B. 2C. 0,1D. 1,22.设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称, ,则( )A. - 5B. 5 C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab = ( )A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC= ,则AC=( )A. 5B. C. 2D. 15.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的
2、概率是0.75,连续两为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.456.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A. B. C. D. 7.执行右图程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S= ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= A. 0 B. 1 C.
3、2 D. 3 9.设x,y满足约束条件,则的最大值为( )A. 10 B. 8 C. 3 D. 210.设F为抛物线C:的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为( )A. B. C. D. 11.直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为( ) A. B. C. D. 12.设函数.若存在的极值点满足,则m的取值范围是( ) A. B. C. D.第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生必须做答.第22题第24题为选考题,考生根据
4、要求做答.二.填空题13.的展开式中,的系数为15,则a=_.(用数字填写答案)14.函数的最大值为_.15.已知偶函数在单调递减,.若,则的取值范围是_.16.设点M(,1),若在圆O:上存在点N,使得OMN=45,则的取值范围是_. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知数列满足=1,.()证明是等比数列,并求的通项公式;()证明:.18. (本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.()证明:PB平面AEC;()设二面角D-AE-C为60,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.19
5、. (本小题满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9()求y关于t的线性回归方程;()利用()中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:,20. (本小题满分12分)设,分别是椭圆C:的左,右焦点,M是C上一点且与x轴垂直,直线与C的另一个交点为N.()若直线MN的斜率为,求C
6、的离心率;()若直线MN在y轴上的截距为2,且,求a,b.21. (本小题满分12分)已知函数=()讨论的单调性;()设,当时,,求的最大值;()已知,估计ln2的近似值(精确到0.001)请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,同按所做的第一题计分,做答时请写清题号.22.(本小题满分10)选修41:几何证明选讲如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E.证明:()BE=EC;()ADDE=223. (本小题满分10)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为
7、极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为,.()求C的参数方程;()设点D在C上,C在D处的切线与直线垂直,根据()中你得到的参数方程,确定D的坐标.24. (本小题满分10)选修4-5:不等式选讲设函数=()证明:2;()若,求的取值范围.好教育云平台 高考真题 第4页(共4页)2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、 选择题(1)D (2)A (3)A (4)B (5)A (6)C(7)D (8)D (9)B (10)D (11)C (12)C二、 填空题(13) (14)1 (15)() (16)三、 解答题(17)解: (I)由得。 又,所以是首项为,公比为3的等比
8、数列。 ,因此的通项公式为. ()由(I)知 因为当时,所以。于是。所以 (18)解:(I)连接BD交AC于点O,连结EO。 因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点。 又E为PD的中点,所以EOPB。 EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.()因为PA平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直。 如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,为单位长,建立空间直角坐标系,则. 设,则。 设为平面ACE的法向量,则即,可取。又为平面DAE的法向量,由题设,即,解得。因为E为PD的中点,所以三棱锥的高为.三菱锥的体积 .(19)解:(I) 由所给数据计算得 (1+2+3
9、+4+5+6+7)=4 (2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3 =9+4+1+0+1+4+9=28 =(3)(1.4)+(2)(1)+(1)(0.7)+00.1+10.5 +20.9+31.6 =14. , .所求回归方程为 .() 由(I)知,b=0.50,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元。 将2015年的年份代号t=9带入(I)中的回归方程,得 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.(20)解:(I)根据及题设知 将代入,解得(舍去) 故C的离心率为. ()由题意,原点为的中点,轴,所以直线
10、与轴的交点 是线段的中点,故,即 由得。设,由题意知,则,即代入C的方程,得。将及代入得解得,故.(21)解:(I)=,等号仅当时成立。所以在()= = = (i)当时,0,等号仅当时成立,所以在单调递增。而=0,所以对任意; (ii)当时,若满足,即时0.而=0,因此当时,0.综上,b的最大值为2.()由()知,. 当b=2时,0;0.6928; 当时, =0, 0.6934 所以的近似值为0.693.(22)解:(I) 连结AB,AC.由题设知PA=PD,故PAD=PDA.因为PDA=DAC+DCAPAD=BAD+PABDCA=PAB, 所以DAC=BAD,从而。因此BE=EC. ()由切割线定理得。 因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB。由相交弦定理得,所以.(23)解: (I)C的普通方程为. 可得C的参数方程为(t为参数,) ()设D.由(I)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆。因为C在点D处的切线与t垂直,所以直线GD与t的斜率相同, . 故D的直角坐标为,即。(24)解:(I)由,有. 所以2.().当时a3时,=,由5得3a。当0a3时,=,由5得a3. 综上,a的取值范围是(,).好教育云平台 高考真题答案 第6页(共7页)