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1、2009河南科技大学第六届大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。所选择的题号： A 参赛队员(打印并签名) ： 1. 2. 3. 组长联系方式： 粗糙表
2、面纳米颗粒的体积计算模型摘要 本文通过建立数学模型研究了有关在粗糙表面上的纳米颗粒体积的估算的问题。本文主要解决了一下几个问题：1. 设计计算机自动识别纳米颗粒的方法的问题；针对这一问题本文依据纳米颗粒的判别方法（在突起部分中高度大于或等于5nm的是纳米颗粒），在MATLAB软件中编制了一套能判别某个突起是否为纳米颗粒的程序。只要输入所需数据（突起高度）就能达到自动识别纳米颗粒的目的。2. 纳米颗粒体积的估算问题；在解决这个问题时，本文将纳米颗粒分别近似看作圆锥体、有抛物线旋转形成的抛物球体及椭球体（仅是其中的一半）。由此我们建立了三个估算模型，在求解过程中本文利用微积分思想分别求出了纳米颗粒
3、的总体积。最后我们考虑到各种模型的近似程度有所不同，我们对三个模型所求得的结果进行加权并求得平均值，最终结果视为纳米颗粒的估算值，以减小不同模型体积估算的偏差。但是鉴于时间较短，不可能做到十全十美，因此我们的模型是可以接受的。例如，本文将纳米颗粒近似看作了理想的规则体，而事实上纳米颗粒的形状是不规则的，因此本文所求得的结果可能存在较大的误差。只有借助高精密仪器，再结合微积分思想才能得到更为精确的结果。本文在求解过程中，使用了MATLAB,SPASS等数学软件，并建立了自动识别纳米颗粒的流程图，使得识别过程简明易懂。从而使本文的模型具有一定的可行，且估算结果具有相当高的精确性。一、问题重述纳米粒
4、子（nanoparticle），是一种超微粒，即至少在一个维的尺度为1-100nm (nanoscale)颗粒的集合体。纳米粒子是纳米科技中的一个极为重要的方面，因为它在生物医学、光学和电子学等许多领域有重要的潜在应用价值。原子力显微镜(AFM)是对纳米粒子进行表征的最重要工具之一。AFM具有原子级的高分辨率，可以提供纳米粒子实时、实空间的三维图像，因而可以提供纳米粒子许多物理性质的定性和定量信息，如大小、形貌、表面结构和粗糙度等，也可以得到包括粒子大小、表面积、体积分布等统计信息。为方便观察和简化计算分析，目前利用AFM观察纳米粒子和其他结构的纳米材料绝大部分在粗糙度极小（i1=jA(i,j
5、)5b(i,j)=1b(i,j)=0YN结束i512在MATLAB中运行程序如下：for i=1:512 for j=1:512 if A(i,j)=5; b(i,j)=1; else b(i,j)=0;end endendB=b(:,:)我们这里约定：“1”代表该突起是纳米颗粒；“0” 代表该突起不是纳米颗粒。将512512的高度数据矩阵输入到程序中，我们便得到了512512 的“0-1”判别矩阵。（二）、纳米颗粒体积估算模型我们通过对纳米颗粒的二维和三维AFM图像进行观察和分析，纳米颗粒的形状具有一定的规律，它们的形状近似于一些几何体。通过比较分析我们选定了三个较为接近的几何体，即圆锥体、
6、抛物面体以及椭球体作为纳米颗粒体积的估计计算模型。由于三个几何体对纳米颗粒的近似程度有所不同，我们采取加权求平均值的方法来确定纳米颗粒的总体积的近似值。1.纳米颗粒底面积的确定由于512512个纳米材料高度数据（单位纳米）是在2mm2mm范围内均匀分布的。我们认为每一个高度所对应的底面积是相等的，即每一个纳米颗粒的底面积是相等的。而我们所建立的模型时将纳米颗粒近似看作了回转体，因此我们认为每一个纳米颗粒的底面是圆形面且面积相等。我们设纳米颗粒的底面积为S，半径为R。由以上结论我们得到纳米颗粒的底面积S的计算值：2.纳米颗粒总体积的计算模型在对纳米颗粒总体积进行近似计算时，我们的思路是在每个模型
7、使用微积分的方法求得单个纳米颗粒体积的计算公式。利用所得计算公式求得所有纳米颗粒的体积，再将所有得到的体积进行加和，得到各模型的纳米颗粒总体积。最后将所有模型的纳米颗粒总体积进行加权求平均值，进而得到纳米颗粒总体积的估计计算值。下面以抛物面体模型为例进行模型建立：图1抛物球体的最大截面图图1是纳米颗粒近似体抛物球体的最大截面在二维坐标的投影图，如图建立坐标系，其中表示纳米颗粒的高度；R表示纳米颗粒底面的半径；dy表示在纳米颗粒上所取得的微元体的高度。根据图1我们可以得到纳米颗粒的最大截面的抛物线方程如下：我们取y为积分变量，它的变化区间为0,。我们将旋转抛物面体中相应于0,上任一小区间的薄片的
8、体积，近似于底半径为、高为的扁圆柱体的体积，即体积元素于是所求旋转抛物面体的体积为：由此得到纳米颗粒体积的近似值为。将所提取出N个纳米颗粒的体积进行加和可以得到纳米颗粒的总体积：至此我们就找到了以抛物面体近似纳米颗粒而计算的近似公式。同理按照以上的思想方法，我们可以求得圆锥体模型和椭球体模型的近似公式，分别为： 最后我们进行加权求平均值。我们以表示三个模型总体积的平均值，以、及表示为圆锥体模型、抛物面体模型及椭球体模型总体积的权重，得到如下公式： 最终我们计算得出的的值即为我们想要得到的。五、 模型求解 在上述模型建立之后，下面是我们模型的求解过程:1. 进入模型的高度数据确定根据题目中的要求
9、，高度大于或等于5nm的是纳米颗粒，是需要计算的；而低于5nm的则是高分子材料自身的结晶结构，不参加计算。在我们的模型中，我们运用MATLAB确定满足要求的突起颗粒部分。其中我们的程序如下： a=; %表示512512高度数据矩阵for i=1:512 for j=1:512 if a(i,j)=5 disp (a(i,j) end end end在上面的程序中，我们把程序进行了改进，其中在操作过程中，a=输入的视具体的矩阵，而本文在写作时考虑到程序的适用范围，故稍作调整，更具有一般性，且容易理解。通过MATLAB软件我们共筛选出来的突起部分一共有2498个，详细数据见本文附表。2. 圆锥体模型体积求解过程圆锥体模型的求解过程，我们的程序如下：A=a; %a表示2498个纳米颗粒所组成的行向量S=;v=1/3*S*sum(A) %v表示总体积圆锥体模型的总体积为=1.388420258941648e+0053. 抛物面体模型体积求解过程和圆锥体模型类似，抛物面模型求解过程如下：A=a; %a表示2498个纳米颗粒所组成的
