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1、绪论：例 已知，作为3.141592的近似值，试分别求出它们有效数字的位数及相对误差限解：（1）3.1423.141590.000410.510-3 3.1420.3142101 ，1n3，n43.142有4位有效数字（2）0.0005930.510-21-n=-2 n=33.141有3位有效数字当3.141作为的近似数时有3位有效数字，不具有4位有效数字，3.14有效，千分位1不是有效数字。练习 已知x12.71，x22.72，x32.7181作为e2.71828的近似值，求这3个近似数的有效数字的位数。 （n2， 3， 4 ）推论1 对于给出的一个有效数，其绝对误差限不大于其末位数字的半个
2、单位。推论2 若近似值x= 0.a1a2an*10m (其中a10) 具有n位有效数字，则其相对误差。证明：x=0. a1an*10m | x |a1*10m-1 又x具有n位有效数字，则| x- x*| | e* r |= n越大，|e* r |就越小，一般应用中取=例1：求的近似值，使其相对误差不超过。解：=2.4494取=2，设x*=有n位有效数字，由推论2，=，n=4，取x*=2.449练习：要使的近似值相对误差不超过0.1%，则至少要求几位有效数字？解：设x*=，其近似数x具有n位有效数字，其相对误差限满足=0.1%n3.097 n=4例1 求有效数3.150950，15.42646
3、3, 568.3758, 7684.388之和。解 =8271.341 213 而这和的绝对误差限为 2*0.5*10-6+0.5*10-4+0.5*10-3 0.5*10-3 应舍入成8271.341最末3位的计算没有意义，合理的做法是将小数位较多的各位数按小数位最少的位数多取1位作舍入处理，再相加3.1510+15.4265+568.3758+7684.388=8271.34133*0.5*10-4+0.5*10-30.000650，f(1)=sin10 f(x)=1xsinx=0在0，1有根。又f(x)= 1cosx0 (x0，1)，故f(x)0在区间0，1内有唯一实根。给定误差限e0.
4、5104，有故只要取n14即可。练习 证明方程ex+10x20在区间0，1内有一个根，如果使用二分法求该区间内的根，且误差不超过106，试问需要二分区间0，1多少次？ 证明 令f(x)ex+10x2， f(0)=-1 0 f(x)= ex+10x2 =0在0，1有根。又f(x)= ex+10 0(x0，1)，故f(x)0在区间0，1内有唯一实根。给定误差限106，有只要取k19次.第一章例 求过这三个点 (0，1)，(1，2)，(2，3)的拉格朗日插值多项式。解： 此为一条直线，其原因在于(0，1)，(1，2)， (2，3)三点共线注意2：例1 已知函数y=f(x)的观察数据为下表，试构造拉格
5、朗日多项式Ln (x)， 并计算L(1)。xk2045yk5131解： 先构造基函数所求三次多项式为L3(x)L3(1)例2 已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487, sin0.36=0.352274, 用线性插值及抛物插值计算 sin0.3367 的值并估计截断误差。解： 由题意取x0=0.32, y0=0.314567 , x1=0.34 ,y1=0.333487 , x2=0.36 , y2=0.352274 。用线性插值及抛物插值计算，取 x0=0.32 及 x1=0.34 , 又由公式得 sin0.3367L1(0.3367)= = =0.330365
6、 .其截断误差得其中 ，因 f(x)=sinx，f/(x)= -sinx，可取，于是R1(0.3367)=sin 0.3367 L1(0.3367)1/2(0.3335)(0.0167)(0.0033)0.92105，若取x1=0.34，x2=0.36为节点，则线性插值为 ，其截断误差为，其中于是 用抛物插值计算 sin0.3367时，可得这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了。其截断误差得 其中 于是练习：已知函数y=ln x的函数表如下：1011121314y=ln x2.30262.39792.48492.56492.6391分别用Lagrang
7、e线性插值和抛物线插值求ln 11.5 的近似值，并估计误差。解 线性插值。取两个节点，插值基函数为 由式（1-4）得将代入，即得按式（1-12）得因为，在与之间，故=于是抛物线插值。取，插值多项式为所以因为，于是因此用抛物线插值计算的误差为查表可得。例 给定函数的函数表-2012171217写出函数的差商表。解 差商表如下：1阶差商2阶差商3阶差商-2012171217-8115371练习：试列出f(x)=x3 在节点x =0，2，3，5，6上的各阶差商值。例 对上例的中的，求节点为的一次插值多项式，节点为的二次插值多项式和节点为的三次插值多项式。解 差商表如下：1阶差商2阶差商3阶差商-2
8、012171217-8115371由上例知，于是有练习已知函数表(见下表)，试用牛顿插值公式求，并计算的近似值。x132f(x)121解：列出差商表：xi0阶差商1阶差商2阶差商11320.52132.5例. 给定单调连续函数yf(x)的函数值表如下x-2-1123f(x)-10-511118求方程f(x)0的根的尽可能好的近似值解：分析如果直接运用插值公式，可以求得4次插值多项式。从而可以得到一元4次方程。然而我们没有可靠的办法直接解高次方程。因为函数yf(x)单调连续，所以f(x)必存在反函数xf -1(y)利用已知函数值表可知y=f(x)-10-511118xf -1(y)-2-1123建立差商表ykf -1(yk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商102510.2110.3333330.0121211120.10.0145830.0012721830.1428570.0025210.0007440.000072得到牛顿插值特别注意：反插值只有在y = f (x)为单调函数才能使用。例.已知函数表 xi012yi8-7.5-18求函数yf(x)在0，2上零点的近似值解：由于yi是严格单调的，可用反插值求其零点。可先求出插值多项式，并令y0yi8-7.5-18xi01
