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1、北 京 四 中 编稿：李岩 审稿：谷丹 责编：严春梅直线与圆的位置关系已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，直线L：Ax+By+C=01位置关系的判定：判定方法1：联立方程组 得到关于x(或y)的方程(1)0相交；(2)=0相切；(3)0相离。判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d(1)dr相离。例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点 ，点P在圆O内，直线L与圆O相交。法二：圆心O到直线L的距离为 当d3时，(2m-1)20 mR所以直线L与直线O相交。法三：联立方程
2、，消去y得2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17)当m1时，0，直线与圆相交；当m=1时，直线L： ，此时直线L与圆O相交综上得直线L与圆O恒相交。评法二和法三是判断直线与圆位置关系的方法，但计算量偏大；而法一是先观察直线的特点再结合图，避免了大量计算，因此体现了数形结合的优点。例2、求圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大最小值法一：设P(cos，sin)为圆上一点，则点P到直线的距离为 = 当 时，dmin=4. 法二：如图，直线L过圆心，且与直线3x+4y=2
3、5垂直于点M， 此时，l与圆有两个交点A、B，原点到直线3x+4y=25的距离|OM|=5，圆上的点到直线3x+4y=25的距离的最大值为：|AM|=|OM|+r=5+1=6最小值为：|BM|=|OM|-r=5-1=4评法二是几何做法，充分体现了它计算量小的优势。2切线问题：例3：(1)已知点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程；(x0x+y0y=r2)法一：点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点， 当x00且y00时， 切线方程为 当P为(0，r)时，切线方程为y=r，满足方程(1)；当P为(0，-r)时，切线方程为t=-r，满足方程(1)；当P
4、为(r，0)时，切线方程为x=r，满足方程(1)；当P为(-r，0)时，切线方程为x=-r，满足方程(1)；综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2法二：设M(x，y)为所求切线上除P点外的任一点，则由图知|OM|2=|OP|2+|PM|2，即x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2x0x+y0y=r2且P(x0，y0)满足上面的方程。综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2。(2)已知圆O：x2+y2=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT的方程。解：当PT方程为x=4时，为圆O的切线，满足题意：设PT的方程为y-6=k(x-4)，即kx-y-4k+6=0则圆心O到PT的距离为 所以
5、PT的方程为 综上，切线PT的方程为x=4，5x-12y+52=0评(1)判断直线与圆的位置关系有两种方法，但利用圆心到直线的距离与半径的关系来判断在计算上更简洁。(2)过圆外一点向圆引切线，应有两条；过圆上一点作圆的切线，只有一条。例4、求过下列各点的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程：(1) ； （2） B(4，5)解：(1)圆C：(x-1)2+(y+2)2=9，圆心C(1，-2)，r=3，且点A在圆C上，法一：设切线方程为 ，则圆心到切线的距离为 ，所求切线方程为 法二：ACl， 所求切线方程为 (2)点B在圆外，所以过B点的切线有两条设切线方程为y=k(x-4)+5，则圆心
6、C到切线的距离为 又直线x=4也是圆的切线方程，所求切线方程为 例5、设点P(x，y)是圆x2+y2=1上任一点，求 的取值范围。法一：u表示过点(-1，2)且与圆有交点的直线l的斜率，如图，当直线l与圆相切时，PA的斜率不存在，直线PB的方程为ux-y+u+2=0，圆心到直线PB的距离为 法二：设x=cos，y=sin，则 评法一利用数形结合的思想，是解决这类问题的基本方法。 法二把这个几何问题转化为求三角函数 值域的问题，但此三角函数问题计算量偏大，难以解决，反过来，我们可以把求 值域的问题转化为本题去解决，就显得更好用的多。要善于处理代数问题和几何问题之间转化的问题。例6、从直线L：2x
7、-y+10=0上一点做圆O：x2+y2=4的切线，切点为A、B，求四边形PAOB面积的最小值。 解： 当|OP|最小时，SPAOB最小，又当OPL时|OP|最小，此时 例7、(切点弦)过圆外一点P(a，b)做圆O：x2+y2=r2的切线，切点为A、B，求直线AB的方程。法一：如图， ，由射影定理|OA|2=|OD|OP|知， O分 当a=0或b=0时，切线方程满足上式，所求切线的方程为ax+by=r2法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则过A点的切线为x1x+y1y=r2，又过点P(a，b)ax1+by1=r2，同理有ax2+by2=r2由以上两式可以看出A、B的坐标都满足方程ax+b
8、y=r2，它是一条直线的方程，又过两点的直线有且仅有一条，直线AB的方程为ax+by=r2。评法一先求得直线AB的斜率及其上一点的坐标，再由点斜式写出直线的方程，做起来运算量比较大；而法二巧妙的避免了求A、B的坐标；设而不求A、B两点的坐标，体现了对曲线与方程概念的深刻理解。3、弦长问题例8、(1)若点P(2，-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，求直线AB的方程。解：圆心C(1，0)，kPC=-1，ABPC，kAB=1，且AB过点P，直线AB的方程为y+1=x-2即y=x-3(2)若直线y=2x+b与圆x2+y2=4相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。解：设M(x，y)为所
9、求轨迹上任一点，且A（x1，y1），B（x2，y2）由 ，消去y得5x2+4bx+b2-4=0由韦达定理得， 由消去b得 ，又因M在圆内，所求轨迹为直线 在圆内的部分。(3)经过原点作圆x2+y2+2x-4y+4=0的割线l，交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。法一：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，直线l的方程为y=kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)由 消去y得(1+k2)x2+(2-4k)x+4=0 又x0 代入得x2+y2+x-2y=0M点在圆内，所求轨迹为圆x2+y2+x-2y=0在圆x2+y2+2x-4y+4=0内的部分。法二：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，圆心C（-
10、1，2）CMOM 当x0且x-1时，有 ，当x=0时，点M不存在；当x=-1时，点M与C重合，符合方程M点在圆内，所求轨迹为圆x2+y2+x-2y=0在圆x2+y2+2x-4y+4=0内的部分。法三：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，圆心C（-1，2）CMOMM点在以OC为直径的圆上，即 ，M点在圆内，所求轨迹为圆 在圆x2+y2+2x-4y+4=0内的部分。习题1.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a，b)的位置是_A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上皆有可能2.直线l过点A(0，2)且与半圆C：(x-1)2+y2=1(y0)有两个不同的交点，则直线l的斜率的范围是
11、_3.若圆x2+y2-4x-5=0上的点到直线3x-4y+k=0距离的最大值是4，求k4.一个圆经过点P(2，-1)和直线x-y=1相切，且圆心在y=-2x上，求它的方程。5.设a+b+1=0，试求：a2+b2-2a-2b+2的最小值6.已知实数满足：x2+y2-4y+1=0 (1)求y-2x的取值范围；(2)求 的取值范围。7.自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在的直线的方程。8.求圆x2+y2-2axsin-2bycos-a2cos2=0(aR且a0)在x轴上截得的弦长。9.已知点P是圆x2+y2=4上一动点，定点Q(4，0)，求线段PQ中点的轨迹方程。答案：1.B；2、 ； 3、-1或-11 4、(x-1)2+(y+2)2=2或(x-9)2+(y+18)2=338；5、 6、(1) (2) 7、4x-3y+3=0或3x-4y-3=0；8、2|a|9、
